Тема 5 из 72 · Алгебра

Квадратный корень. Модуль. Сравнение корней

Свойства корней, действия с радикалами, модуль числа

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Содержание 11 разделов

Что такое квадратный корень
Корень n-й степени
Свойства корней
Вынесение и внесение множителя
Сложение и вычитание корней
Как убрать корень из знаменателя
Модуль — это расстояние
Как раскрывают модуль
Корень из квадрата выражения
Сравнение корней
Простейшие уравнения с модулем и корнем

Что такое квадратный корень

$\sqrt{a}$ — это неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. В определении два требования, и оба обязательны:

$\sqrt{a} \ge 0$;
$\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$.

Одного второго требования мало. Квадрат числа $2$ равен $4$, но и квадрат числа $-2$ тоже равен $4$. Чтобы запись $\sqrt{4}$ означала ровно одно число, из двух кандидатов условились брать неотрицательный: $\sqrt{4} = 2$.

Отсюда главное следствие: значение корня никогда не бывает отрицательным. Запись $\sqrt{9} = -3$ неверна, хотя $(-3)^2 = 9$.

Подкоренное число тоже не любое. Квадрат действительного числа неотрицателен, поэтому равенства $x^2 = -4$ не бывает. Значит, $\sqrt{a}$ существует только при $a \ge 0$.

Важно запомнить!

$\sqrt{a^2} = |a|$, а не $a$. Проверьте на числе: $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$, а не $-5$. Корень обязан вернуть неотрицательное число — модуль это и обеспечивает.

Корень n-й степени

$\sqrt[n]{a}$ — число, $n$-я степень которого равна $a$. Всё поведение задаёт чётность $n$.

Чётная степень ($\sqrt{\phantom{a}}$, $\sqrt[4]{\phantom{a}}$, $\sqrt[6]{\phantom{a}}$). Чётная степень любого числа неотрицательна, поэтому корень существует только при $a \ge 0$ и сам неотрицателен: $\sqrt[4]{16} = 2$, но не $-2$, хотя $(-2)^4 = 16$.

Нечётная степень ($\sqrt[3]{\phantom{a}}$, $\sqrt[5]{\phantom{a}}$). Нечётная степень сохраняет знак, поэтому корень существует при любом $a$, а его знак совпадает со знаком $a$: $\sqrt[3]{-8} = -2$, потому что $(-2)^3 = -8$.

$$\sqrt[n]{a^n} = \begin{cases} |a|, & n \text{ чётное} \\ a, & n \text{ нечётное} \end{cases}$$

Это та же ловушка, что и с квадратным корнем, только в общем виде: при чётном показателе появляется модуль.

Свойства корней

Записаны для $a \ge 0$ и $b \ge 0$ — там, где корни чётной степени определены.

Корень дружит с умножением и делением:

$$\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}, \qquad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\quad (b > 0)$$

Корень и степень меняются местами:

$$\left(\sqrt{a}\right)^2 = a, \qquad \sqrt{a^2} = |a|, \qquad \left(\sqrt{a}\right)^k = \sqrt{a^k}$$

Для корня любой степени всё то же самое:

$$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}, \qquad \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, \qquad \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m}$$

$$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}, \qquad \sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}, \qquad \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\quad (a > 0)$$

Последнее равенство — мост к степеням: корень это степень с дробным показателем. Поэтому все правила действий со степенями работают и для корней, отдельно их заучивать не нужно.

Важно запомнить!

Для суммы и разности похожего свойства нет: $\sqrt{a+b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$. Проверьте: $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$, а $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$. Корень «разбивается» только на множителях.

Пример

Вычислить $\sqrt{25}\cdot\sqrt{36}$.

Степени корней одинаковые, поэтому корни можно перемножить под одним знаком: $\sqrt{25\cdot 36} = \sqrt{900}$.
$\sqrt{900} = 30$.

Ответ: $30$.

Проверка по частям: $\sqrt{25} = 5$, $\sqrt{36} = 6$, и $5\cdot 6 = 30$.

Пример

Вычислить $\sqrt[3]{-64} + \sqrt[4]{16}$.

Степень $3$ нечётная, поэтому отрицательное число под корнем допустимо: $(-4)^3 = -64$, значит, $\sqrt[3]{-64} = -4$.
Степень $4$ чётная, и значение корня неотрицательно: $\sqrt[4]{16} = 2$, а не $-2$.
$-4 + 2 = -2$.

Ответ: $-2$.

Вынесение и внесение множителя

Вынести множитель — значит выделить под корнем полный квадрат:

$$\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}$$

Например: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$, $\ \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$.

Внести множитель — обратное действие, и здесь важен его знак:

$$a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\ \ (a \ge 0), \qquad a\sqrt{b} = -\sqrt{a^2 b}\ \ (a < 0)$$

Например: $3\sqrt{2} = \sqrt{18}$, но $-3\sqrt{2} = -\sqrt{18}$ — не $\sqrt{-18}$ и не $\sqrt{18}$. Минус остаётся снаружи, под корень уходит только квадрат числа.

Пример 1

Вынести множитель из-под знака корня: $\sqrt{180}$.

Ищем в $180$ множитель, из которого корень извлекается. Подходит $9$: $180 = 9\cdot 20$.
$\sqrt{180} = \sqrt{9}\cdot\sqrt{20} = 3\sqrt{20}$.
Под корнем осталось $20 = 4\cdot 5$, а из $4$ корень тоже извлекается, поэтому можно продолжить: $3\sqrt{20} = 3\cdot 2\sqrt{5}$.

Ответ: $6\sqrt{5}$. Запись $3\sqrt{20}$ — промежуточная: множитель вынесен не до конца.

Проверка: $\sqrt{180} \approx 13{,}42$ и $6\sqrt{5} \approx 6\cdot 2{,}236 \approx 13{,}42$.

Пример 2

Внести множитель под знак корня: $3\sqrt{7}$.

Число $3$ записываем как корень: $3 = \sqrt{9}$.
Степени корней одинаковые, поэтому корни объединяются: $\sqrt{9}\cdot\sqrt{7} = \sqrt{63}$.

Ответ: $\sqrt{63}$.

Проверка: $3\sqrt{7} \approx 3\cdot 2{,}646 = 7{,}94$ и $\sqrt{63} \approx 7{,}94$.

Сложение и вычитание корней

Корни складывают и вычитают как подобные слагаемые. Выражение $2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}$ — это «две штуки и ещё три штуки» одного и того же корня, то есть $5\sqrt{3}$. А $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ в один корень не собрать, потому что корни разные.

Если под корнями стоят разные числа, их сначала раскладывают на удобные множители: такие, что из одного множителя корень извлекается. Вынесенные корни часто оказываются одинаковыми, и тогда их можно сложить или вынести общий множитель за скобки.

Пример 1

Упростить $\sqrt{12} - \sqrt{75} + \sqrt{27}$.

Раскладываем: $12 = 4\cdot 3$, $75 = 25\cdot 3$, $27 = 9\cdot 3$. Из $4$, $25$ и $9$ корень извлекается, а тройка остаётся у всех.
$\sqrt{4}\sqrt{3} - \sqrt{25}\sqrt{3} + \sqrt{9}\sqrt{3} = 2\sqrt{3} - 5\sqrt{3} + 3\sqrt{3}$.
Выносим общий множитель $\sqrt{3}$ за скобки: $\sqrt{3}\,(2 - 5 + 3) = \sqrt{3}\cdot 0$.

Ответ: $0$.

Проверка: $3{,}464 - 8{,}660 + 5{,}196 = 0$.

Пример 2

Упростить $\sqrt{50} + \sqrt{8} - \sqrt{18}$.

$50 = 25\cdot 2$, $8 = 4\cdot 2$, $18 = 9\cdot 2$: общий корень здесь $\sqrt{2}$.
$5\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = (5 + 2 - 3)\sqrt{2}$.

Ответ: $4\sqrt{2}$.

Пример 3

Упростить $\sqrt{48} - 2\sqrt{3}$.

Во втором слагаемом под корнем тройка, поэтому и в первом нужна тройка: $48 = 16\cdot 3$.
$\sqrt{16}\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3}$.

Ответ: $2\sqrt{3}$.

Важно запомнить!

Складываются только коэффициенты, а корень остаётся прежним: $2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$, а не $5\sqrt{6}$. Проверка: слева $3{,}46 + 5{,}20 = 8{,}66$, а $5\sqrt{3} \approx 8{,}66$, но $5\sqrt{6} \approx 12{,}25$.

Как убрать корень из знаменателя

Домножаем числитель и знаменатель на такое выражение, чтобы внизу корень исчез.

Один корень в знаменателе — домножаем на этот же корень:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Зачем это нужно, видно на сложении. Дробь $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ и дробь $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ равны: это одно и то же число, записанное по-разному. Но сложить $\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{1}{2}$ легко — знаменатель уже общий, получается $\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}$. А в сумме $\dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{2}$ пришлось бы долго искать общий знаменатель. Значение дроби при этом не меняется, потому что числитель и знаменатель умножаются на одно и то же число — это основное свойство дроби.

Пример

Избавиться от иррациональности в знаменателе: $\dfrac{6}{\sqrt{3}}$.

Домножаем числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$.
В знаменателе $\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 3$, а в числителе $6\sqrt{3}$.
Сокращаем $6$ и $3$: $\dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$.

Ответ: $2\sqrt{3}$.

Проверка: $6 : 1{,}732 \approx 3{,}464$ и $2\sqrt{3} \approx 3{,}464$.

Сумма или разность — домножаем на сопряжённое, то есть на то же выражение с противоположным знаком. Тогда сработает разность квадратов и корни уйдут:

$$\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right) = a - b$$

Пример

Избавиться от иррациональности в знаменателе: $\dfrac{1}{\sqrt{3}+1}$.

Сопряжённое к $\sqrt{3}+1$ — это $\sqrt{3}-1$. Домножаем на него и числитель, и знаменатель.
Знаменатель: $\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right) = \left(\sqrt{3}\right)^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2$.
Остаётся $\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$.

Ответ: $\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$

Пример 2

Избавиться от иррациональности в знаменателе: $\dfrac{1}{\sqrt{5} - 2}$.

Сопряжённое выражение — то же самое с противоположным знаком: $\sqrt{5} + 2$. Домножаем на него и числитель, и знаменатель.
Знаменатель по формуле разности квадратов: $\left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+2\right) = \left(\sqrt{5}\right)^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$.
Числитель остаётся $\sqrt{5} + 2$, а делить на $1$ не нужно.

Ответ: $\sqrt{5} + 2$.

Проверка: $1 : (2{,}236 - 2) \approx 4{,}236$ и $\sqrt{5} + 2 \approx 4{,}236$.

Пример 3

Избавиться от иррациональности в знаменателе: $\dfrac{3}{\sqrt{7} + \sqrt{2}}$.

Сопряжённое к $\sqrt{7} + \sqrt{2}$ — это $\sqrt{7} - \sqrt{2}$: заменяем только знак.
Знаменатель: $\left(\sqrt{7}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{2}\right) = 7 - 2 = 5$.
Числитель: $3\left(\sqrt{7}-\sqrt{2}\right)$ — множитель $3$ умножается на всю скобку.

Ответ: $\dfrac{3\left(\sqrt{7}-\sqrt{2}\right)}{5}$.

Проверка: $3 : (2{,}646 + 1{,}414) \approx 0{,}739$ и $3\cdot 1{,}232 : 5 \approx 0{,}739$.

Важно запомнить!

Сопряжённым нужно умножать числитель и знаменатель на одно и то же выражение, и оно должно быть сопряжённым именно знаменателю. Для $\sqrt{7}+\sqrt{2}$ это $\sqrt{7}-\sqrt{2}$, а не $\sqrt{7}-2$: $\left(\sqrt{7}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{7}-2\right) = 7 - 2\sqrt{7} + \sqrt{14} - 2\sqrt{2}$ — корни не исчезли, разность квадратов не получилась.

Модуль — это расстояние

$|a|$ — расстояние от точки $a$ до нуля на числовой прямой. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому $|a| \ge 0$ при любом $a$.

$$|a| = \begin{cases} a, & a \ge 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases}$$

Вторая строка не означает «отрицательное число». Если $a = -5$, то $-a = -(-5) = 5$: минус здесь как раз убирает знак.

$|a-b|$ — расстояние между точками $a$ и $b$. Отсюда сразу видно, что $|a-b| = |b-a|$: расстояние не зависит от того, откуда его мерить.

Свойства модуля:

$$|-a| = |a|, \qquad |ab| = |a|\cdot|b|, \qquad \left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}, \qquad |a|^2 = a^2$$

Как раскрывают модуль

Раскрыть модуль — значит убрать его знак, выяснив, положительно подмодульное выражение или отрицательно.

Найти, при каком $x$ подмодульное выражение обращается в нуль.
Определить его знак на нужном промежутке.
Если выражение неотрицательно — снять модуль как есть. Если отрицательно — снять модуль и поменять знак всего выражения.

Пример

Раскрыть модуль $|x-5|$ при $x < 5$.

Выражение $x-5$ обращается в нуль при $x = 5$.
При $x < 5$ разность $x-5$ отрицательна.
Значит, снимаем модуль со сменой знака: $|x-5| = -(x-5) = 5-x$.

Ответ: $5-x$

Проверка: при $x = 2$ получаем $|2-5| = 3$ и $5-2 = 3$ — сходится.

Пример

Упростить $|x-2| + |x-6|$ при $2 \le x < 6$.

На этом промежутке $x-2 \ge 0$, поэтому $|x-2| = x-2$.
А $x-6 < 0$, поэтому $|x-6| = -(x-6) = 6-x$.
Складываем: $(x-2) + (6-x) = 4$.

Ответ: $4$ — сумма не зависит от $x$.

Геометрически это очевидно: сумма расстояний до точек $2$ и $6$ от точки между ними равна расстоянию между ними самими.

Корень из квадрата выражения

Правило $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ при чётном $n$ работает и тогда, когда под корнем стоит не число, а выражение. Причина прежняя: само выражение может оказаться отрицательным, а корень чётной степени отрицательным быть не может. Поэтому пишем модуль, а затем раскрываем его по условию задачи: узнаём знак выражения и либо снимаем модуль как есть, либо меняем знак.

Пример 1

Упростить $\sqrt[4]{a^4}$.

Степень корня и степень под корнем одинаковы и чётны.
Значит, $\sqrt[4]{a^4} = |a|$: число $a$ может быть любого знака, а корень — только неотрицательный.

Ответ: $|a|$.

Проверка при $a = -2$: $\sqrt[4]{16} = 2$ и $|-2| = 2$, а просто $a$ дало бы $-2$.

Пример 2

Упростить $\sqrt[4]{(2a-1)^4}$ при $a < \dfrac{1}{2}$.

Степени одинаковы и чётны, поэтому получаем $|2a-1|$.
Выясняем знак: $2a - 1 = 0$ при $a = \frac12$. При $a = \frac13$ получаем $\frac23 - 1 < 0$, значит, при $a < \frac12$ выражение отрицательно.
Для отрицательного выражения модуль раскрывается со сменой знака: $|2a-1| = -(2a-1) = 1 - 2a$.

Ответ: $1 - 2a$.

Проверка при $a = 0$: $\sqrt[4]{(-1)^4} = 1$ и $1 - 0 = 1$. Результат положителен, как и должен быть: минус в $-(2a-1)$ компенсируется отрицательным выражением.

Пример 3

Упростить $\sqrt{a^2 + 4a + 4}$ при $a > 0$.

Выражение под корнем похоже на квадрат суммы: $a^2$ — квадрат первого, $4 = 2^2$ — квадрат второго, а $4a = 2\cdot a\cdot 2$ — удвоенное произведение. Значит, $a^2 + 4a + 4 = (a+2)^2$.
Степень корня совпала со степенью выражения: $\sqrt{(a+2)^2} = |a+2|$.
При $a > 0$ сумма $a + 2$ положительна, поэтому модуль снимается как есть.

Ответ: $a + 2$.

Проверка при $a = 1$: $\sqrt{1 + 4 + 4} = 3$ и $1 + 2 = 3$.

Пример 4

Упростить $\sqrt{x^2 - 6x + 9}$ при $x < 3$.

По формуле квадрата разности $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$.
$\sqrt{(x-3)^2} = |x-3|$.
При $x < 3$ разность $x - 3$ отрицательна, поэтому $|x-3| = -(x-3) = 3 - x$.

Ответ: $3 - x$.

Проверка при $x = 0$: $\sqrt{9} = 3$ и $3 - 0 = 3$.

Важно запомнить!

Нельзя просто «откинуть корень и степень». В примере 4 такой ход дал бы $x - 3$, а при $x = 0$ это $-3$, хотя $\sqrt{9} = 3$. Корень не может быть отрицательным, поэтому сначала ставим модуль и только потом раскрываем его по условию.

Сравнение корней

Корень — возрастающая функция: чем больше подкоренное число, тем больше корень. Если $0 \le a < b$, то $\sqrt{a} < \sqrt{b}$. Поэтому два корня сравнивают прямо по подкоренным числам.

Если под корнями стоят разные выражения, обе части возводят в квадрат. Это законно, потому что обе части неотрицательны.

Пример

Что больше: $3\sqrt{5}$ или $5\sqrt{2}$?

Оба числа положительны — возводим в квадрат.
$\left(3\sqrt{5}\right)^2 = 9 \cdot 5 = 45$, $\ \left(5\sqrt{2}\right)^2 = 25 \cdot 2 = 50$.
$45 < 50$, значит $3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}$.

Ответ: больше $5\sqrt{2}$

Сравнение с целым числом: внесите целое под корень. Например, $3 = \sqrt{9}$, а $10 > 9$, поэтому $\sqrt{10} > 3$.

Пример

Сравнить $\sqrt{7}$ и $2\sqrt{2}$; сравнить $4$ и $\sqrt{17}$.

Обе части положительны, возводим в квадрат: $\left(\sqrt{7}\right)^2 = 7$ и $\left(2\sqrt{2}\right)^2 = 4\cdot 2 = 8$. Здесь $7 < 8$.
Для второй пары: $4^2 = 16$ и $\left(\sqrt{17}\right)^2 = 17$. Здесь $16 < 17$.

Ответ: $\sqrt{7} < 2\sqrt{2}$ и $4 < \sqrt{17}$.

Проверка: $2{,}646 < 2{,}828$ и $4 < 4{,}123$.

Важно запомнить!

Возводить в квадрат можно только неотрицательные части. С отрицательным числом сравнение делается вообще без возведения: $\sqrt{a} \ge 0$, значит любой корень больше любого отрицательного числа.

Ориентиры для быстрой прикидки: $\sqrt{2} \approx 1{,}41$; $\sqrt{3} \approx 1{,}73$; $\sqrt{5} \approx 2{,}24$; $\sqrt{10} \approx 3{,}16$.

Простейшие уравнения с модулем и корнем

В уравнении $|f(x)| = c$ всё определяется правой частью. Модуль — расстояние, а расстояние неотрицательно, поэтому:

при $c > 0$ есть два случая: $f(x) = c$ или $f(x) = -c$ — точки на расстоянии $c$ от нуля с обеих сторон;
при $c = 0$ остаётся одно уравнение $f(x) = 0$;
при $c < 0$ корней нет, потому что модуль не может быть отрицательным.

Пример 1

Решить уравнение $|3x - 7| = 2$.

Справа положительное число, значит, подмодульное выражение равно $2$ или $-2$: $3x - 7 = 2$ или $3x - 7 = -2$.
Первое: $3x = 9$, откуда $x = 3$. Второе: $3x = 5$, откуда $x = \frac{5}{3}$.

Ответ: $3$ и $\dfrac{5}{3}$.

Проверка: $|3\cdot 3 - 7| = |2| = 2$ и $\left|3\cdot\frac53 - 7\right| = |-2| = 2$.

Пример 2

Решить уравнение $|x + 4| = 0$.

Модуль равен нулю только тогда, когда нулю равно подмодульное выражение: $x + 4 = 0$.

Ответ: $-4$.

Пример 3

Решить уравнение $|2x - 1| = -3$.

Слева модуль, он неотрицателен, а справа стоит отрицательное число $-3$.
Неотрицательное число не может равняться отрицательному.

Ответ: корней нет.

Важно запомнить!

Сначала смотрим на знак правой части, а потом раскрываем модуль. В примере 3 механическое «$2x - 1 = -3$» даёт $x = -1$, но $|2\cdot(-1) - 1| = 3 \ne -3$: найденное число уравнению не подходит.

Уравнение с корнем решают возведением обеих частей в квадрат. Это законно, когда правая часть неотрицательна: корень равен только неотрицательному числу. Если справа отрицательное число, корней нет.

Пример 4

Решить уравнение $\sqrt{5x - 4} = 4$.

Справа $4 \ge 0$, поэтому уравнение может иметь корни. Возводим обе части в квадрат: $5x - 4 = 16$.
$5x = 20$, откуда $x = 4$.

Ответ: $4$.

Проверка: $\sqrt{5\cdot 4 - 4} = \sqrt{16} = 4$.

← 4. Формулы сокращённого умножения. Степень 6. Линейные и квадратные уравнения. Теорем… →