Формулы сокращённого умножения. Степень
ФСУ, свойства степеней с любым показателем
Содержание 14 разделов
Формулы сокращённого умножения
Формулы сокращённого умножения (ФСУ) — это готовые результаты раскрытия скобок вроде $(a+b)^2$ или $(a-b)(a+b)$. Их знают наизусть по двум причинам. Во-первых, они избавляют от долгого раскрытия скобок. Во-вторых, их читают и справа налево: увидел в выражении «разность квадратов» — значит, его можно разложить на множители и сократить дробь. Это нужно в заданиях на преобразования (№8), в уравнениях и неравенствах, поэтому формулы встречаются и на ОГЭ, и на ЕГЭ. Всего их семь: квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов, куб суммы, куб разности, разность кубов и сумма кубов.
Квадрат суммы
Выведем формулу, а не примем её на веру. $(a+b)^2$ — это $(a+b)(a+b)$. Раскроем скобки «фонтанчиком»: каждое слагаемое первой скобки умножаем на каждое слагаемое второй.
От перестановки множителей произведение не меняется, поэтому $ba = ab$. Два одинаковых слагаемых $ab + ab$ дают $2ab$. Отсюда:
Смысл формулы хорошо виден на площади. Квадрат со стороной $a+b$ складывается из квадрата $a^2$, квадрата $b^2$ и двух одинаковых прямоугольников $ab$. Поэтому «$2ab$» нельзя потерять: это два прямоугольника.
Раскрыть скобки: $(x+3)^2$.
- Роль $a$ играет $x$, роль $b$ — число $3$.
- $x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$.
Ответ: $x^2 + 6x + 9$.
Проверка при $x = 1$: слева $(1+3)^2 = 16$, справа $1 + 6 + 9 = 16$.
Раскрыть скобки: $(2a+1)^2$.
- Здесь $a$ играет $2a$, а $b = 1$.
- $(2a)^2 + 2\cdot 2a\cdot 1 + 1^2$. Степень относится к каждому множителю, поэтому $(2a)^2 = 4a^2$.
Ответ: $4a^2 + 4a + 1$.
Проверка при $a = 1$: $(2+1)^2 = 9$ и $4 + 4 + 1 = 9$.
$(a+b)^2 \ne a^2 + b^2$: пропущенное $2ab$ — самая частая ошибка. Проверка: $(1+2)^2 = 9$, а $1^2 + 2^2 = 5$.
Квадрат разности
Формула выводится так же. Достаточно заметить, что $a - b = a + (-b)$, и подставить $-b$ вместо $b$ в квадрат суммы. Средний член получает минус, потому что $2a\cdot(-b) = -2ab$, а последний остаётся плюсом: $(-b)^2 = b^2$.
Раскрыть скобки: $(y-5)^2$.
- $a = y$, $b = 5$.
- $y^2 - 2\cdot y\cdot 5 + 5^2 = y^2 - 10y + 25$.
Ответ: $y^2 - 10y + 25$.
Проверка при $y = 6$: $(6-5)^2 = 1$ и $36 - 60 + 25 = 1$.
Разность квадратов
Раскроем скобки $(a+b)(a-b)$ тем же «фонтанчиком»: $a\cdot a - a\cdot b + b\cdot a - b\cdot b$. Слагаемые $-ab$ и $+ba$ равны по модулю и противоположны по знаку, поэтому уничтожаются. Остаётся:
Порядок скобок не важен: $(a-b)(a+b)$ даёт то же самое. Формулу читают в обе стороны. Слева направо она раскрывает скобки, справа налево раскладывает разность квадратов на множители — этот способ нужен чаще всего.
Раскрыть скобки: $(x+4)(x-4)$.
- Множители отличаются только знаком, значит, это разность квадратов с $a = x$, $b = 4$.
- $x^2 - 4^2 = x^2 - 16$.
Ответ: $x^2 - 16$.
Раскрыть скобки: $(3y+2)(3y-2)$.
- $a = 3y$, $b = 2$.
- $(3y)^2 - 2^2 = 9y^2 - 4$.
Ответ: $9y^2 - 4$.
Разложить $9x^2 - 4$ и вычислить $53\cdot 47$ без столбика.
- $9x^2 = (3x)^2$, а $4 = 2^2$, значит, $9x^2 - 4 = (3x-2)(3x+2)$.
- $53 = 50 + 3$, $47 = 50 - 3$, поэтому $53\cdot 47 = (50+3)(50-3) = 50^2 - 3^2 = 2500 - 9 = 2491$.
Ответ: $(3x-2)(3x+2)$; $2491$.
Упростить $(a+b)^2 - (a-b)^2$.
- Сначала раскроем оба квадрата по формулам. Второй квадрат ставим в скобки, потому что перед ним стоит минус: $a^2 + 2ab + b^2 - (a^2 - 2ab + b^2)$.
- Теперь раскрываем скобку: минус перед ней меняет знак у каждого слагаемого. Получаем $a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2$.
- Квадраты уничтожаются, остаётся $2ab + 2ab = 4ab$.
Ответ: $4ab$.
Проверка при $a = 3$, $b = 1$: $4^2 - 2^2 = 12$ и $4\cdot 3\cdot 1 = 12$.
Если после формулы не взять скобки, знак минус испортит только первое слагаемое. Пример 4 без скобок даёт $a^2 + 2ab + b^2 - a^2 - 2ab + b^2 = 2b^2$. При $a = 3$, $b = 1$ получается $2$, хотя верный ответ $12$.
Куб суммы
Куб — это квадрат, умноженный ещё на одну скобку: $(a+b)^3 = (a+b)^2(a+b)$. Подставим уже выведенный квадрат суммы и раскроем скобки «фонтанчиком», а потом приведём подобные слагаемые:
Запомнить результат можно по правилу. Первое слагаемое $a$ идёт по убывающей степени: $a^3,\ a^2,\ a^1,\ a^0$. Второе слагаемое $b$ идёт по возрастающей: $b^0,\ b^1,\ b^2,\ b^3$. Так как всего степень третья, у средних слагаемых появляется коэффициент $3$. Крайние слагаемые коэффициента не имеют, потому что при них одна из степеней нулевая.
Раскрыть скобки: $(x+2)^3$.
- $a = x$, $b = 2$: $x^3 + 3\cdot x^2\cdot 2 + 3\cdot x\cdot 2^2 + 2^3$.
- $3\cdot 2 = 6$, $3\cdot 4 = 12$, $2^3 = 8$.
Ответ: $x^3 + 6x^2 + 12x + 8$.
Проверка при $x = 1$: $(1+2)^3 = 27$ и $1 + 6 + 12 + 8 = 27$.
Куб разности
Если между слагаемыми стоит минус, всё то же самое, но знаки чередуются: на краях стоят $a^3$ и $-b^3$, а между ними $-3a^2b$ и $+3ab^2$. Знак минус получают слагаемые с нечётной степенью $b$, потому что $(-b)^1 = -b$ и $(-b)^3 = -b^3$, а $(-b)^2 = b^2$.
Раскрыть скобки: $(2a-b)^3$.
- Роль $a$ играет $2a$: $(2a)^3 - 3\cdot(2a)^2\cdot b + 3\cdot 2a\cdot b^2 - b^3$.
- Степень относится к каждому множителю: $(2a)^3 = 8a^3$ и $(2a)^2 = 4a^2$. Тогда $3\cdot 4a^2 b = 12a^2b$, а $3\cdot 2a\cdot b^2 = 6ab^2$.
Ответ: $8a^3 - 12a^2b + 6ab^2 - b^3$.
Проверка при $a = 1$, $b = 1$: $(2-1)^3 = 1$ и $8 - 12 + 6 - 1 = 1$.
В $(2a)^2$ в квадрат возводится и двойка: получается $4a^2$, а не $2a^2$. Если ошибиться здесь, ответ в предыдущем примере станет $-6a^2b$ вместо $-12a^2b$.
Разность кубов и сумма кубов
Эти две формулы раскладывают на множители, а не раскрывают скобки. Проверим их умножением: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3 = a^3 - b^3$, средние слагаемые уничтожились. Для суммы то же самое.
Вторая скобка называется неполным квадратом: в полном квадрате суммы или разности было бы $2ab$, а здесь просто $ab$. Какой именно неполный квадрат нужен, определяется знаком в исходном выражении, причём наоборот:
- в исходном выражении минус ($a^3 - b^3$) — пишем неполный квадрат суммы: $a^2 + ab + b^2$;
- в исходном выражении плюс ($a^3 + b^3$) — пишем неполный квадрат разности: $a^2 - ab + b^2$.
Иначе: знак в первой скобке такой же, как в условии, знак перед $ab$ обратный, а перед $b^2$ всегда плюс.
Эти формулы легко перепутать с кубом суммы и кубом разности. Отличить их помогает счёт степеней и скобок. В разности и сумме кубов две третьих степени ($a^3$ и $b^3$) — значит, будет две скобки. В кубе суммы или разности скобка одна, а в третьей степени стоит она вся.
| Название | Выражение | Во что превращается |
| Куб разности | $(a-b)^3$ | $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ |
| Разность кубов | $a^3 - b^3$ | $(a-b)(a^2 + ab + b^2)$ |
Разложить на множители: $x^3 - 27$.
- $27 = 3^3$, значит, перед нами разность кубов с $a = x$, $b = 3$.
- В исходном выражении минус, поэтому берём неполный квадрат суммы: $x^2 + 3x + 9$.
Ответ: $(x-3)(x^2 + 3x + 9)$.
Проверка при $x = 4$: $64 - 27 = 37$ и $1\cdot(16 + 12 + 9) = 37$.
Разложить на множители: $8a^3 + b^3$.
- $8a^3 = (2a)^3$, значит, это сумма кубов с $a$ → $2a$ и $b$.
- В исходном выражении плюс, поэтому берём неполный квадрат разности: $(2a)^2 - 2a\cdot b + b^2 = 4a^2 - 2ab + b^2$.
Ответ: $(2a+b)(4a^2 - 2ab + b^2)$.
Проверка при $a = 1$, $b = 1$: $8 + 1 = 9$ и $3\cdot(4 - 2 + 1) = 9$.
В неполном квадрате нет двойки перед $ab$, и поэтому он не раскладывается дальше. Если написать $2ab$, получится полный квадрат — $x^3 - 27$ при $x = 4$ даст $1\cdot(16 + 24 + 9) = 49 \ne 37$.
ФСУ в выражениях
В задачах формулы комбинируют. Если в выражении две одинаковые по виду скобки в кубе, часто выгоднее применить сумму или разность кубов, чем раскрывать каждый куб отдельно.
Упростить $(x+1)^3 + (x-1)^3$.
- Это сумма кубов с $a = x+1$, $b = x-1$. Первая скобка: $a + b = (x+1) + (x-1) = 2x$.
- Вторая скобка — неполный квадрат разности $a^2 - ab + b^2$. Скобки вокруг $ab$ обязательны, потому что перед ним минус: $(x+1)^2 - (x+1)(x-1) + (x-1)^2$.
- Раскрываем: $x^2 + 2x + 1 - (x^2 - 1) + x^2 - 2x + 1$. Слагаемые $2x$ и $-2x$ уничтожаются, $x^2 - x^2$ тоже, остаётся $1 + 1 + 1 + x^2 = x^2 + 3$.
Ответ: $2x(x^2 + 3) = 2x^3 + 6x$.
Проверка при $x = 1$: $2^3 + 0^3 = 8$ и $2 + 6 = 8$.
Упростить $(a+b)^3 - (a-b)^3$.
- Это разность кубов с $A = a+b$, $B = a-b$. Первая скобка: $A - B = (a+b) - (a-b) = 2b$.
- Вторая скобка — неполный квадрат суммы: $(a+b)^2 + (a+b)(a-b) + (a-b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - b^2 + a^2 - 2ab + b^2 = 3a^2 + b^2$.
Ответ: $2b(3a^2 + b^2) = 6a^2b + 2b^3$.
Проверка при $a = 2$, $b = 1$: $27 - 1 = 26$ и $6\cdot 4\cdot 1 + 2 = 26$.
Сокращение дробей и условия
Формулы позволяют сократить дробь: сначала раскладываем числитель на множители, потом убираем общий множитель. Но сокращать недостаточно. Делить на ноль нельзя, поэтому значения $x$, обращающие знаменатель в ноль, исключаются — и эти исключения остаются, даже когда множитель сократился.
Упростить $\dfrac{x^2 - 25}{x - 5}$.
- Числитель — разность квадратов: $x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$.
- Сокращаем общий множитель $x - 5$.
- Знаменатель $x - 5$ не должен равняться нулю, поэтому $x \ne 5$.
Ответ: $x + 5$ при $x \ne 5$.
Упростить $\dfrac{x^3 - 8}{x - 2}$.
- Числитель — разность кубов, $8 = 2^3$: $x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$.
- Сокращаем $x - 2$.
- Знаменатель обращается в нуль при $x = 2$, поэтому $x \ne 2$.
Ответ: $x^2 + 2x + 4$ при $x \ne 2$.
Упростить $\dfrac{x^2 - 9}{x + 3}\cdot\dfrac{x + 3}{x - 3}$.
- Разложим $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ и запишем всё под одной чертой: $\dfrac{(x-3)(x+3)(x+3)}{(x+3)(x-3)}$.
- Сокращаем $x + 3$ и $x - 3$. Остаётся $x + 3$.
- Условия берём из знаменателей обеих дробей: $x + 3 \ne 0$ и $x - 3 \ne 0$, то есть $x \ne -3$ и $x \ne 3$. Если подставить любое из этих чисел, один из множителей знаменателя обнуляется, и весь знаменатель тоже.
Ответ: $x + 3$ при $x \ne 3$ и $x \ne -3$.
Проверка при $x = 5$: $\dfrac{16}{8}\cdot\dfrac{8}{2} = 2\cdot 4 = 8$ и $5 + 3 = 8$.
После сокращения условие $x \ne 5$ не пропадает. При $x = 5$ исходная дробь $\dfrac{x^2-25}{x-5}$ равна $\dfrac{0}{0}$ и не существует, а $x + 5$ даёт $10$ — это разные выражения.
Степень
Степень: основание, показатель и знак
Запись $a^n$ — это умножение основания $a$ на себя $n$ раз. Отрицательное основание в чётной степени даёт плюс, в нечётной — минус.
$(-2)^4 = 16$, но $-2^4 = -16$: в первом случае в степень возводится скобка целиком, во втором минус стоит перед степенью и к возведению не относится. На экзамене на этом теряют баллы чаще, чем на самих свойствах.
Свойства степеней
Основные свойства для $a, b > 0$ и любых показателей $m, n$:
Свойства работают при $a > 0$. Для отрицательных оснований и нецелых показателей степень может быть неопределена. На ЕГЭ основания под дробными показателями всегда положительны.
Дробный показатель — это корень
Дробный показатель переводится в корень: знаменатель дроби становится степенью корня, числитель — степенью подкоренного выражения.
Считать удобнее через вторую форму: сначала извлечь корень, потом возвести в степень — числа остаются маленькими.
Вычислите $27^{\frac{2}{3}}$.
- Сначала корень: $\sqrt[3]{27} = 3$.
- Потом степень: $3^2 = 9$.
Ответ: 9
Вычислите $16^{0{,}75}$.
- $0{,}75 = \frac{3}{4}$, значит $16^{3/4} = \left(\sqrt[4]{16}\right)^3$.
- $\sqrt[4]{16} = 2$, затем $2^3 = 8$.
Ответ: 8
Вычислите $0{,}001^{-\frac{1}{3}}$.
- Минус в показателе переворачивает дробь: $0{,}001^{-1/3} = \left(\frac{1}{0{,}001}\right)^{1/3} = 1000^{1/3}$.
- $\sqrt[3]{1000} = 10$.
Ответ: 10
Свойства степеней с дробным показателем работают при $a > 0$. Поэтому $\sqrt{a^2} = |a|$, а не $a$: знак определяется условием задачи.
Приведение к одному основанию
Разные основания приводятся к общему: $4 = 2^2$, $8 = 2^3$, $16 = 2^4$, $64 = 2^6$, $9 = 3^2$, $27 = 3^3$, $25 = 5^2$. После этого работают обычные правила, и громоздкие показатели сокращаются.
Вычислите $\left(27^7\right)^2 : \left(9^4\right)^5$.
- $27 = 3^3$, поэтому $\left(27^7\right)^2 = 3^{3 \cdot 14} = 3^{42}$.
- $9 = 3^2$, поэтому $\left(9^4\right)^5 = 3^{2 \cdot 20} = 3^{40}$.
- $3^{42} : 3^{40} = 3^2 = 9$.
Ответ: 9
Вычислите $8^{\frac{2}{3}} \cdot 4^{-\frac{1}{2}}$.
- $8^{2/3} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 4$.
- $4^{-1/2} = \dfrac{1}{\sqrt{4}} = \dfrac{1}{2}$.
- $4 \cdot \dfrac{1}{2} = 2$.
Ответ: 2
Иррациональный показатель не мешает: вычислите $5^{\sqrt{7}+1} : 5^{\sqrt{7}-1}$.
- При делении показатели вычитаются: $\left(\sqrt{7}+1\right) - \left(\sqrt{7}-1\right) = 2$.
- $5^2 = 25$.
Ответ: 25
Вычислите $25^{2\sqrt{8}+3} \cdot 5^{-3-4\sqrt{8}}$.
- Приводим к основанию 5: $25^{2\sqrt{8}+3} = 5^{2\left(2\sqrt{8}+3\right)} = 5^{4\sqrt{8}+6}$.
- Складываем показатели: $\left(4\sqrt{8}+6\right) + \left(-3-4\sqrt{8}\right) = 3$.
- $5^3 = 125$.
Ответ: 125
Подпишись — и вся теория откроется
71 тема ЕГЭ и 72 темы ОГЭ с разборами примеров. Доступ откроется сразу и сохранится в этом браузере.