Линейные и квадратные уравнения. Теорема Виета

Линейное уравнение

Линейное уравнение — это уравнение вида $ax + b = 0$, где $x$ входит только в первой степени.

Решить уравнение — значит найти все значения $x$, при которых равенство верно. Уравнение можно преобразовывать, не нарушая равенства: к обеим частям можно прибавить или вычесть одно и то же число, а ещё умножить или разделить обе части на одно и то же число, не равное нулю. Это свойство уравнений. Оно работает как с обычным верным равенством: $2 = 2$ остаётся верным, если из обеих частей вычесть $1$ или умножить обе части на $3$. Правило «перенеси слагаемое с другим знаком» — короткая запись такого действия.

Делить на $a$ можно только тогда, когда $a \ne 0$. Поэтому случаев три:

1. $a \ne 0$ — ровно один корень $x = -\dfrac{b}{a}$.
2. $a = 0$, $b \ne 0$ — получается $0 \cdot x = -b$, то есть $0 = -b$. Это неверно ни при каком $x$: корней нет.
3. $a = 0$, $b = 0$ — получается $0 = 0$. Это верно при любом $x$: корень любой.

Вторая и третья строки нужны, когда вместо чисел стоят буквы: там $a$ может обратиться в нуль, и деление станет незаконным.

Если в уравнении есть дроби

Дроби убирают до того, как начинают переносить слагаемые. Обе части умножают на общий знаменатель — он делится на каждый знаменатель, поэтому все дроби сокращаются разом.

1. Найти общий знаменатель всех дробей.
2. Умножить на него каждое слагаемое обеих частей, включая те, что без дробей.
3. Сократить дроби и решить обычное линейное уравнение.

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение — это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \ne 0$. Если $a = 0$, квадрата нет и уравнение линейное.

Видов ровно три, и различают их по тому, какие коэффициенты равны нулю. Два из них решаются без дискриминанта — и это заметно быстрее.

Неполное: $ax^2 + bx = 0$ (нет свободного члена)

Общий приём — вынести $x$ за скобку. Произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель.

Такое уравнение всегда имеет два корня, и один из них — обязательно нуль.

Неполное: $ax^2 + c = 0$ (нет слагаемого с $x$)

Здесь $x^2$ выражают напрямую:

Дальше всё решает знак правой части. Квадрат не бывает отрицательным, поэтому:

1. $-\dfrac{c}{a} > 0$ — два корня $x = \pm\sqrt{-\dfrac{c}{a}}$;
2. $-\dfrac{c}{a} = 0$ — один корень $x = 0$;
3. $-\dfrac{c}{a} < 0$ — корней нет.

Полное: $ax^2 + bx + c = 0$

Когда все три коэффициента ненулевые, ни вынести множитель, ни выразить $x^2$ напрямую не получается. Нужна общая формула — и вот откуда она берётся.

Разделим уравнение на $a$ и попробуем свернуть левую часть в полный квадрат:

Заметим, что $x^2 + \dfrac{b}{a}x$ — это начало квадрата суммы $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2$, которому не хватает слагаемого $\dfrac{b^2}{4a^2}$. Добавим его и тут же вычтем — значение выражения не изменится:

Переносим всё, кроме квадрата, вправо и приводим к общему знаменателю:

Слева — квадрат, он неотрицателен. Значит, всё зависит от знака выражения $b^2 - 4ac$ в числителе справа: будет ли у уравнения решение и сколько. Это выражение и назвали дискриминантом (от латинского discriminare — «различать»): он различает случаи.

Осталось извлечь корень из обеих частей и перенести $\dfrac{b}{2a}$ вправо:

Теперь понятно, что происходит при разных знаках дискриминанта:

1. $D > 0$ — справа положительное число, корень из него извлекается, и знак $\pm$ даёт два разных корня.
2. $D = 0$ — справа нуль, $\pm\sqrt{0}$ ничего не добавляет и не убавляет. Остаётся один корень $x = -\dfrac{b}{2a}$. Его называют двукратным: формально корней два, но они совпали.
3. $D < 0$ — справа отрицательное число, а слева квадрат, который отрицательным быть не может. Равенство невозможно ни при каком $x$: корней нет.

Если коэффициент $b$ чётный, удобна сокращённая формула. Пусть $b = 2k$, тогда:

Это та же формула, просто числа получаются вчетверо меньше и считать легче.

Теорема Виета

Если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, то

Для приведённого уравнения $x^2 + px + q = 0$ (где $a = 1$) формулы совсем короткие: сумма корней равна $-p$, произведение равно $q$.

Отсюда способ решать устно: подобрать два числа, дающих нужные сумму и произведение. Для $x^2 - 5x + 6 = 0$ ищем два числа с суммой $5$ и произведением $6$ — это $2$ и $3$.

Работает и обратное: если известны сумма $s$ и произведение $p$ двух чисел, то они — корни уравнения $x^2 - sx + p = 0$.

Пригодится и такое преобразование — оно позволяет считать симметричные выражения от корней, не находя самих корней:

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Если $x_1$ и $x_2$ — корни трёхчлена, то

Почему так. Вынесем $a$ за скобку и подставим формулы Виета вместо коэффициентов:

Осталось увидеть, что выражение в скобках — это раскрытое произведение $(x - x_1)(x - x_2)$. Раскроем его и убедимся:

Совпало. Поэтому разложение и выглядит именно так — это не отдельное правило, а прямое следствие теоремы Виета.

Заодно видно, почему множители записывают через минус: подстановка $x = x_1$ должна обнулить скобку, а обнуляет её именно разность $x - x_1$.

Если корни целые и легко подбираются по Виету, раскладывать можно вообще без дискриминанта: $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$, $\ x^2 + x - 12 = (x+4)(x-3)$.