Показательные уравнения
Одно основание, вынесение множителя, замена t = aˣ, однородные; №14 с тригонометрией в показателе
Содержание 6 разделов
Показательная функция и почему показатели можно приравнять
Показательная функция — это $y = a^x$ с основанием $a > 0$, $a \ne 1$. Основание положительно, чтобы степень была определена при любом $x$: например, $(-4)^{\frac12}$ не существует. Единицу исключают, потому что $1^x = 1$ при любом $x$, и по значению нельзя восстановить показатель.
Два свойства этой функции решают почти все уравнения:
- Она принимает только положительные значения: $a^x > 0$ при любом $x$. Значит, уравнения $2^x = 0$ и $3^x = -9$ корней не имеют.
- Она монотонна: при $a > 1$ возрастает, при $0 < a < 1$ убывает. Монотонная функция каждое значение принимает ровно один раз, поэтому из равенства степеней с одинаковым основанием следует равенство показателей.
Чтобы привести числа к одному основанию, нужны свойства степеней и таблица степеней малых чисел:
Одно основание
Если обе части можно записать степенями одного числа, уравнение сводится к равенству показателей — обычному линейному или квадратному уравнению.
Решить уравнение $2^{x+1} = 8^{x-2}$.
- $8 = 2^3$, поэтому $8^{x-2} = 2^{3(x-2)} = 2^{3x-6}$.
- Основания равны, значит равны показатели: $x + 1 = 3x - 6$.
- $2x = 7$, $\ x = 3{,}5$.
Ответ: $3{,}5$
Проверка: $2^{4{,}5} = 2^{4} \cdot \sqrt2 = 16\sqrt2$ и $8^{1{,}5} = 8\sqrt8 = 16\sqrt2$.
Решить уравнение $\left(\frac13\right)^{x-2} = 27$.
- Дробь — это степень с минусом: $\frac13 = 3^{-1}$, поэтому левая часть равна $3^{-(x-2)} = 3^{2-x}$.
- $27 = 3^3$, значит $2 - x = 3$.
Ответ: $-1$
Проверка: $\left(\frac13\right)^{-3} = 3^3 = 27$.
Приравнивать показатели можно только при одинаковых основаниях. Из $2^x = 4^3$ не следует $x = 3$: сначала $4^3 = 2^6$, и правильный ответ $x = 6$.
Вынесение общего множителя
Если в уравнении стоят степени с одним основанием, но разными показателями вида $x + 2$, $x$, $x - 1$, их сумму не сложить напрямую. Помогает свойство $a^{x+2} = a^x \cdot a^2$: каждая такая степень — это $a^x$, умноженное на число. Выносим $a^x$ за скобку.
Решить уравнение $3^{x+2} - 3^x = 72$.
- $3^{x+2} = 9 \cdot 3^x$, поэтому $9 \cdot 3^x - 3^x = 72$.
- Выносим $3^x$: $\ 8 \cdot 3^x = 72$, $\ 3^x = 9 = 3^2$.
Ответ: $2$
Проверка: $3^4 - 3^2 = 81 - 9 = 72$.
Замена переменной
Если в уравнении есть $a^{2x}$ и $a^x$, то $a^{2x} = (a^x)^2$, и замена $t = a^x$ даёт квадратное уравнение. Ограничение на $t$ берётся из первого свойства: степень положительна, значит $t > 0$. Корни $t \le 0$ отбрасываются.
Решить уравнение $4^x - 2^{x+1} - 8 = 0$.
- $4^x = (2^x)^2$, $\ 2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$. Замена $t = 2^x$, $t > 0$: $\ t^2 - 2t - 8 = 0$.
- $t = 4$ или $t = -2$. Значение $-2$ отбрасываем, так как $2^x$ не бывает отрицательным.
- $2^x = 4 = 2^2$, $\ x = 2$.
Ответ: $2$
Проверка: $16 - 8 - 8 = 0$.
Решить уравнение $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$.
- Замена $t = 3^x > 0$: $\ t^2 - 4t + 3 = 0$, $\ t = 1$ или $t = 3$ — оба положительны.
- $3^x = 1 = 3^0 \Rightarrow x = 0$; $\ 3^x = 3 \Rightarrow x = 1$.
Ответ: $0$; $\ 1$
Проверка при $x = 1$: $\ 9 - 12 + 3 = 0$.
Однородные показательные уравнения
Уравнения вида $\alpha \cdot a^{2x} + \beta \cdot (ab)^x + \gamma \cdot b^{2x} = 0$ — показательные родственники однородных тригонометрических (памятка 23). Делим на $b^{2x}$: это законно, так как степень положительна и нулём быть не может. Получается квадратное уравнение относительно $t = \left(\frac{a}{b}\right)^x$.
Решить уравнение $4^x + 6^x = 2 \cdot 9^x$.
- $4^x = 2^{2x}$, $6^x = 2^x 3^x$, $9^x = 3^{2x}$. Делим на $9^x$: $\ \left(\frac23\right)^{2x} + \left(\frac23\right)^x - 2 = 0$.
- $t = \left(\frac23\right)^x > 0$: $\ t^2 + t - 2 = 0$, $\ t = 1$ или $t = -2$, второе отбрасываем.
- $\left(\frac23\right)^x = 1 \Rightarrow x = 0$.
Ответ: $0$
Проверка: $1 + 1 = 2 \cdot 1$.
Если привести к одному основанию не удаётся (например, $2^x = 5$), ответ записывают через логарифм: $x = \log_2 5$. Что это за число и как с ним работать — в памятке 14.
Задание №14: показатель с тригонометрией
В №14 показательное уравнение часто содержит в показателе $\sin x$ или $\cos x$. Решение идёт в два слоя: сначала замена $t = a^{\sin x}$ и квадратное уравнение, потом простейшие тригонометрические уравнения и отбор корней (памятка 21).
а) Решите уравнение $9^{\sin x} + 9^{-\sin x} = \frac{10}{3}$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$.
- $9^{-\sin x} = \frac{1}{9^{\sin x}}$. Замена $t = 9^{\sin x} > 0$: $\ t + \frac1t = \frac{10}{3}$, умножаем на $3t$: $\ 3t^2 - 10t + 3 = 0$.
- $t = 3$ или $t = \frac13$. Обратная замена: $9^{\sin x} = 3 = 9^{\frac12} \Rightarrow \sin x = \frac12$; $\ 9^{\sin x} = 9^{-\frac12} \Rightarrow \sin x = -\frac12$.
- Две пары точек $\pm\frac{\pi}{6}$ и $\pi \pm \frac{\pi}{6}$ объединяются в $x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi k$.
- Отбор: $\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$, $\ -\frac{\pi}{6} + 3\pi = \frac{17\pi}{6}$, $\ \frac{\pi}{6} + 3\pi = \frac{19\pi}{6}$ лежат на отрезке; следующая точка $\frac{23\pi}{6}$ больше $\frac{7\pi}{2} = \frac{21\pi}{6}$.
Ответ: а) $\pm\frac{\pi}{6} + \pi k$, $\ k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{13\pi}{6}$; $\ \frac{17\pi}{6}$; $\ \frac{19\pi}{6}$
Проверка при $\sin x = \frac12$: $\ 9^{\frac12} + 9^{-\frac12} = 3 + \frac13 = \frac{10}{3}$.
Подпишись — и вся теория откроется
71 тема ЕГЭ и 72 темы ОГЭ с разборами примеров. Доступ откроется сразу и сохранится в этом браузере.