Тригонометрические уравнения, сводимые к однородным
Единица как sin²x + cos²x, двойной угол, a·sin x + b·cos x = c; отбор корней
Содержание 7 разделов
Что значит «сводится к однородному»
Однородное уравнение (памятка 23) решается делением на степень косинуса. Но часто уравнение выглядит почти однородным, и мешает одно слагаемое: число справа, $\sin 2x$ или $\cos 2x$. Задача — переписать это слагаемое через $\sin x$ и $\cos x$ в той же степени, что и остальные. После этого работает уже знакомый метод.
Главный инструмент — единица, записанная как $\sin^2 x + \cos^2 x$. Число $d$ имеет нулевую степень, а $d(\sin^2 x + \cos^2 x)$ — уже вторую. Значение при этом не меняется, потому что сумма квадратов синуса и косинуса равна единице при любом $x$.
Число в правой части
Решить уравнение $3\sin^2 x + \sin x\cos x = 2$.
- Слева вторая степень, справа число. Заменяем: $\ 3\sin^2 x + \sin x\cos x = 2\sin^2 x + 2\cos^2 x$.
- Переносим всё влево: $\ \sin^2 x + \sin x\cos x - 2\cos^2 x = 0$ — однородное второй степени.
- Коэффициент при $\sin^2 x$ не ноль, поэтому делим на $\cos^2 x$: $\ \operatorname{tg}^2 x + \operatorname{tg} x - 2 = 0$, $\ \operatorname{tg} x = 1$ или $\operatorname{tg} x = -2$.
Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi k$; $\ -\operatorname{arctg} 2 + \pi k$, $\ k \in \mathbb{Z}$
Проверка при $\operatorname{tg} x = 1$: $\sin x = \cos x = \frac{\sqrt2}{2}$, $\ 3 \cdot \frac12 + \frac12 = 2$.
Делить на $\cos^2 x$ до замены единицы нельзя: из $3\sin^2 x + \sin x\cos x = 2$ получилось бы $3\operatorname{tg}^2 x + \operatorname{tg} x = \frac{2}{\cos^2 x}$ — функций снова две. Сначала все слагаемые приводятся ко второй степени, и только потом деление.
Двойной угол
Слагаемые $\sin 2x$ и $\cos 2x$ уже имеют вторую степень, если расписать их через $x$. Поэтому уравнение с ними и с числом сводится к однородному второй степени. Если синуса в квадрате после переноса не осталось, на $\cos^2 x$ не делят, а выносят множитель — как в памятке 23.
Решить уравнение $3\sin 2x + 2\cos 2x = 2$.
- Расписываем: $\ 6\sin x\cos x + 2\cos^2 x - 2\sin^2 x = 2\sin^2 x + 2\cos^2 x$.
- Переносим: $\ 6\sin x\cos x - 4\sin^2 x = 0$. Слагаемого с $\cos^2 x$ нет, значит, выносим $\sin x$: $\ 2\sin x\,(3\cos x - 2\sin x) = 0$.
- $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k$; $\ 3\cos x = 2\sin x \Rightarrow \operatorname{tg} x = \frac32$, $\ x = \operatorname{arctg}\frac32 + \pi k$.
Ответ: $\pi k$; $\ \operatorname{arctg}\frac32 + \pi k$, $\ k \in \mathbb{Z}$
Проверка при $x = 0$: $\ 3 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2$.
Уравнение $a\sin x + b\cos x = c$
Здесь слева первая степень, а справа число. Привести его ко второй степени умножением на единицу нельзя — получится смесь первой и второй степеней. Есть два рабочих способа.
Способ 1: половинный угол
Запишем всё через угол $\frac{x}{2}$. Тогда $\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$ и $\cos x = \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}$ — это вторая степень, а число $c$ превращается во вторую степень заменой $c = c\left(\sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2}\right)$.
Решить уравнение $\sin x - \cos x = 1$.
- Обозначим $s = \sin\frac{x}{2}$, $c = \cos\frac{x}{2}$: $\ 2sc - (c^2 - s^2) = s^2 + c^2$.
- Упрощаем: $\ 2sc - 2c^2 = 0$, то есть $2c\,(s - c) = 0$. Слагаемого с $s^2$ нет, поэтому множитель $c$ выносим, а не делим на него.
- $\cos\frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x = \pi + 2\pi k$.
- $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = 1 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.
Ответ: $\pi + 2\pi k$; $\ \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $\ k \in \mathbb{Z}$
Проверка при $x = \pi$: $\ 0 - (-1) = 1$ — именно этот корень теряется, если поделить на $\cos^2\frac{x}{2}$.
Способ 2: вспомогательный угол
Выражение $a\sin x + b\cos x$ сворачивается в один синус. Вынесем за скобку $\sqrt{a^2 + b^2}$: числа $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ и $\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ в сумме квадратов дают единицу, значит, это косинус и синус некоторого угла $\varphi$. Тогда по формуле синуса суммы:
Решить уравнение $\sqrt3\sin x + \cos x = \sqrt2$.
- $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$. Тогда $\cos\varphi = \frac{\sqrt3}{2}$, $\sin\varphi = \frac12$, значит $\varphi = \frac{\pi}{6}$.
- Уравнение принимает вид $2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt2$, то есть $\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt2}{2}$.
- $x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ или $x + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$.
- $x = \frac{\pi}{12} + 2\pi k$ или $x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi k$.
Ответ: $\frac{\pi}{12} + 2\pi k$; $\ \frac{7\pi}{12} + 2\pi k$, $\ k \in \mathbb{Z}$
Проверка: $\sqrt3\sin x + \cos x = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$, при $x = \frac{\pi}{12}$ это $2\sin\frac{\pi}{4} = \sqrt2$.
Вспомогательный угол заодно показывает, когда корней нет: левая часть не превышает $\sqrt{a^2 + b^2}$ по модулю. Например, $\sin x + \cos x = 2$ решений не имеет, так как $\sqrt2 < 2$.
Задание №14 целиком
а) Решите уравнение $3\sin^2 x - 2\sin 2x + 5\cos^2 x = 2$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$.
- $\sin 2x = 2\sin x\cos x$, $\ 2 = 2\sin^2 x + 2\cos^2 x$: $\ 3\sin^2 x - 4\sin x\cos x + 5\cos^2 x = 2\sin^2 x + 2\cos^2 x$.
- $\sin^2 x - 4\sin x\cos x + 3\cos^2 x = 0$, делим на $\cos^2 x$: $\ \operatorname{tg}^2 x - 4\operatorname{tg} x + 3 = 0$, $\ \operatorname{tg} x = 1$ или $\operatorname{tg} x = 3$.
- Серии: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$ и $x = \beta + \pi k$, где $\beta = \operatorname{arctg} 3$. Так как $3 > 1$, угол $\beta$ лежит между $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{2}$.
- Первая серия на отрезке: $-\frac{7\pi}{4}$ и $-\frac{3\pi}{4}$. Вторая: $-2\pi + \beta$ (больше $-2\pi$, но меньше $-\frac{3\pi}{2}$) и $-\pi + \beta$ (меньше $-\frac{\pi}{2}$, потому что $\beta < \frac{\pi}{2}$).
Дуга $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$ идёт от правой точки против часовой стрелки до нижней, $\ \beta = \operatorname{arctg} 3$. Все четыре точки двух серий лежат на ней
Ответ: а) $\frac{\pi}{4} + \pi k$; $\ \operatorname{arctg} 3 + \pi k$, $\ k \in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{7\pi}{4}$; $\ -2\pi + \operatorname{arctg} 3$; $\ -\frac{3\pi}{4}$; $\ -\pi + \operatorname{arctg} 3$
Порядок: $\beta > \frac{\pi}{4}$, значит $-2\pi + \beta > -\frac{7\pi}{4}$ и $-\pi + \beta > -\frac{3\pi}{4}$ — корни выписаны по возрастанию.
Подпишись — и вся теория откроется
71 тема ЕГЭ и 72 темы ОГЭ с разборами примеров. Доступ откроется сразу и сохранится в этом браузере.