← Маршрут ЕГЭ
Тема 24 из 72 · Тригонометрия

Метод группировки и ФСУ в тригонометрических уравнениях

Разложение на множители: общий множитель, группировка, формулы сокращённого умножения

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗
Содержание 9 разделов
  1. Главный принцип: произведение равно нулю
  2. Общий множитель
  3. Группировка
  4. Формулы сокращённого умножения
  5. Разность квадратов
  6. Сумма и разность кубов
  7. Квадрат суммы
  8. Ловушка: множитель равен нулю, а другой не существует
  9. Задание №14 целиком

Главный принцип: произведение равно нулю

Если левая часть уравнения разложена на множители, а справа ноль, уравнение распадается на несколько простых. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю, а остальные при этом существуют.

$$A \cdot B = 0 \iff \left[\begin{array}{l} A = 0, \\ B = 0 \end{array}\right.$$

Поэтому весь метод — это поиск разложения. Источников три: общий множитель, группировка и формулы сокращённого умножения. Тригонометрия здесь ничем не отличается от алгебры, только вместо $a$ и $b$ стоят $\sin x$ и $\cos x$.

Важно запомнить!

Сокращать на множитель с переменной нельзя. Уравнение $\sin 2x = \sin x$, то есть $2\sin x\cos x = \sin x$, после деления на $\sin x$ даёт только $\cos x = \frac12$, и серия $x = \pi k$ теряется. А ведь при $x = \pi$ обе части равны нулю.

Общий множитель

Чаще всего общий множитель появляется после формулы двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ содержит и синус, и косинус, поэтому делит слагаемые с $\sin x$ или $\cos x$.

Пример

Решить уравнение $\sin 2x - \sin x = 0$.

  1. Двойной угол: $\ 2\sin x\cos x - \sin x = 0$.
  2. Выносим $\sin x$: $\ \sin x\,(2\cos x - 1) = 0$.
  3. $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k$; $\ \cos x = \frac12 \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$.

Ответ: $\pi k$; $\ \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $\ k \in \mathbb{Z}$

Проверка при $x = \frac{\pi}{3}$: $\ \sin\frac{2\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt3}{2} - \frac{\sqrt3}{2} = 0$.

Группировка

Если общего множителя у всех слагаемых нет, их разбивают на пары. Пары подбирают так, чтобы после вынесения множителя из каждой в скобках осталось одно и то же выражение. Оно и становится общим множителем.

Пример

Решить уравнение $2\sin x\cos x + 2\sin x - \cos x - 1 = 0$.

  1. Первая пара: $2\sin x\cos x + 2\sin x = 2\sin x\,(\cos x + 1)$. Вторая: $-\cos x - 1 = -(\cos x + 1)$.
  2. В обеих скобках $\cos x + 1$ — выносим: $\ (\cos x + 1)(2\sin x - 1) = 0$.
  3. $\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi k$; $\ \sin x = \frac12 \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.

Ответ: $\pi + 2\pi k$; $\ \frac{\pi}{6} + 2\pi k$; $\ \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $\ k \in \mathbb{Z}$

Проверка при $x = \pi$: $\ 2 \cdot 0 \cdot (-1) + 0 - (-1) - 1 = 0$.

Если первая попытка не дала одинаковых скобок, стоит переставить слагаемые и сгруппировать иначе: например, первое с третьим, второе с четвёртым.

Формулы сокращённого умножения

Степени синуса и косинуса раскладываются по тем же формулам, что и степени чисел. В тригонометрии они особенно удобны, потому что один из множителей часто упрощается тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Разность квадратов

$$\begin{aligned} &\sin^4 x - \cos^4 x = \\ &= (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) = \\ &= -\cos 2x \end{aligned}$$

Вторая скобка равна единице по основному тождеству, а первая — это минус косинус двойного угла.

Пример

Решить уравнение $\sin^4 x - \cos^4 x = \frac12$.

  1. По разности квадратов левая часть равна $-\cos 2x$: $\ \cos 2x = -\frac12$.
  2. $2x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, значит $x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi k$ — при делении на $2$ делится и период.

Ответ: $\pm\frac{\pi}{3} + \pi k$, $\ k \in \mathbb{Z}$

Проверка при $x = \frac{\pi}{3}$: $\ \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^4 - \left(\frac12\right)^4 = \frac{9}{16} - \frac{1}{16} = \frac12$.

Сумма и разность кубов

$$\begin{aligned} &\sin^3 x \pm \cos^3 x = \\ &= (\sin x \pm \cos x)(1 \mp \sin x\cos x) \end{aligned}$$

Во второй скобке снова сработало тождество: $\sin^2 x + \cos^2 x$ свернулось в единицу.

Пример

Решить уравнение $\sin^3 x + \cos^3 x = 0$.

  1. Сумма кубов: $\ (\sin x + \cos x)(1 - \sin x\cos x) = 0$.
  2. Вторая скобка в ноль не обращается: $\sin x\cos x = 1$ значит $\sin 2x = 2$, а синус не больше единицы.
  3. Первая скобка — однородное уравнение (памятка 23): $\ \operatorname{tg} x = -1$, $\ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi k$, $\ k \in \mathbb{Z}$

Проверка при $x = \frac{3\pi}{4}$: $\ \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^3 + \left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)^3 = 0$.

Квадрат суммы

$$\begin{aligned} &(\sin x \pm \cos x)^2 = \\ &= \sin^2 x \pm 2\sin x\cos x + \cos^2 x = \\ &= 1 \pm \sin 2x \end{aligned}$$

Эта формула превращает квадрат скобки в выражение без квадратов. Например, уравнение $(\sin x + \cos x)^2 = 1 + \cos x$ после неё становится $\sin 2x = \cos x$, то есть $\cos x\,(2\sin x - 1) = 0$.

Ловушка: множитель равен нулю, а другой не существует

Принцип «произведение равно нулю» требует, чтобы остальные множители имели смысл. В тригонометрии это касается тангенса, котангенса и дробей: в точках, где они не определены, корня нет, даже если соседний множитель обнулился.

Пример

Решить уравнение $(\sin x + 1)\operatorname{tg} x = 0$.

  1. Тангенс существует, если $\cos x \ne 0$.
  2. $\operatorname{tg} x = 0 \Rightarrow x = \pi k$ — здесь $\cos x = \pm1$, условие выполнено.
  3. $\sin x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$. Но в этих точках $\cos x = 0$ и тангенса нет, значит это не корни.

Ответ: $\pi k$, $\ k \in \mathbb{Z}$

Проверка: при $x = -\frac{\pi}{2}$ выражение $\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{2}\right)$ не определено, и подставить такое $x$ в уравнение нельзя.

Задание №14 целиком

Пример

а) Решите уравнение $\sin 2x + \sqrt2\sin x = 2\cos x + \sqrt2$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$.

  1. Переносим всё влево и раскрываем двойной угол: $\ 2\sin x\cos x + \sqrt2\sin x - 2\cos x - \sqrt2 = 0$.
  2. Группируем: $\ \sin x\,(2\cos x + \sqrt2) - (2\cos x + \sqrt2) = (2\cos x + \sqrt2)(\sin x - 1) = 0$.
  3. $\cos x = -\frac{\sqrt2}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$; $\ \sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.
  4. Отбор по окружности: на дуге от $\pi$ до $\frac{5\pi}{2}$ лежат точка $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4}$ и верхняя точка $\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$. Точка $\frac{3\pi}{4}$ меньше $\pi$, а $\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}$ больше $\frac{5\pi}{2}$.
cos x sin x π 3π/2 2π 5π/4 5π/2

Дуга $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$: из пары $\pm\frac{3\pi}{4}$ на неё попала только точка $\frac{5\pi}{4}$, верхняя точка — конец дуги $\frac{5\pi}{2}$

Ответ: а) $\pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$; $\ \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $\ k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{5\pi}{4}$; $\ \frac{5\pi}{2}$

Проверка при $x = \frac{5\pi}{2}$: $\ \sin 5\pi + \sqrt2 \cdot 1 = \sqrt2$ и $2\cos\frac{5\pi}{2} + \sqrt2 = \sqrt2$ — равны.

← 23. Однородные тригонометрические уравнения