Однородные тригонометрические уравнения
Первой и второй степени: деление на cos x и вынесение общего множителя; отбор корней
Содержание 6 разделов
Что такое однородное уравнение
Однородным называют уравнение, в котором каждое слагаемое содержит синус и косинус в одной и той же суммарной степени, а свободного числа нет. Эта общая степень и есть степень уравнения.
В слагаемом $\sin x\cos x$ степень тоже вторая: первая у синуса плюс первая у косинуса. Поэтому уравнение $\sin^2 x - 4\sin x\cos x + 3\cos^2 x = 0$ однородное, а $\sin^2 x + \cos x = 0$ — нет.
Идея решения одна: разделить уравнение на $\cos x$ в той же степени. Тогда каждое слагаемое превращается в степень тангенса, потому что $\frac{\sin x}{\cos x} = \operatorname{tg} x$, и остаётся уравнение с одной функцией.
Уравнение $\sin x + \cos x = 1$ не однородное: у единицы степень нулевая, а у остальных слагаемых — первая. Если поделить его на $\cos x$, получится $\operatorname{tg} x + 1 = \frac{1}{\cos x}$ — функций по-прежнему две. Такие уравнения сначала приводят к однородным (памятка 25).
Почему на косинус делить можно
Делить уравнение можно только на то, что не равно нулю. Значит, перед делением на $\cos x$ надо убедиться, что точки, где $\cos x = 0$, корнями не являются, — иначе они потеряются.
Проверяем: если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm1$. Подставим в $a\sin x + b\cos x = 0$: получится $\pm a = 0$. Это неверно, когда $a \ne 0$. Отсюда вывод: если коэффициент при старшей степени синуса не равен нулю, то $\cos x = 0$ не даёт корней, и деление ничего не теряет. Для второй степени рассуждение то же: при $\cos x = 0$ остаётся $a\sin^2 x = a = 0$.
Уравнения первой степени
После деления на $\cos x$ уравнение $a\sin x + b\cos x = 0$ превращается в $a\operatorname{tg} x + b = 0$, то есть $\operatorname{tg} x = -\frac{b}{a}$. Это простейшее уравнение с серией через $\pi$.
Решить уравнение $\sqrt3\sin x - \cos x = 0$.
- Коэффициент при $\sin x$ равен $\sqrt3 \ne 0$, поэтому $\cos x \ne 0$ на корнях, и делим на $\cos x$: $\ \sqrt3\operatorname{tg} x - 1 = 0$.
- $\operatorname{tg} x = \frac{1}{\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{3}$.
- $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$.
Ответ: $\frac{\pi}{6} + \pi k$, $\ k \in \mathbb{Z}$
Проверка: $\ \sqrt3 \cdot \frac12 - \frac{\sqrt3}{2} = 0$.
Уравнения второй степени
Уравнение $a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x = 0$ делят на $\cos^2 x$ и получают квадратное уравнение относительно тангенса: $a\operatorname{tg}^2 x + b\operatorname{tg} x + c = 0$. Дальше — замена $t = \operatorname{tg} x$, как в памятке 22, только без ограничения на $t$: тангенс принимает любые значения.
Решить уравнение $\sin^2 x - 4\sin x\cos x + 3\cos^2 x = 0$.
- Коэффициент при $\sin^2 x$ равен $1 \ne 0$ — делим на $\cos^2 x$: $\ \operatorname{tg}^2 x - 4\operatorname{tg} x + 3 = 0$.
- Замена $t = \operatorname{tg} x$: $\ t^2 - 4t + 3 = 0$, $\ t = 1$ или $t = 3$.
- $\operatorname{tg} x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k$; $\ \operatorname{tg} x = 3 \Rightarrow x = \operatorname{arctg} 3 + \pi k$.
Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi k$; $\ \operatorname{arctg} 3 + \pi k$, $\ k \in \mathbb{Z}$
Проверка при $\operatorname{tg} x = 3$: разделим левую часть на $\cos^2 x$ обратно — $\ 9 - 12 + 3 = 0$.
Решить уравнение $2\sin^2 x + \sin x\cos x - 3\cos^2 x = 0$.
- Делим на $\cos^2 x$: $\ 2\operatorname{tg}^2 x + \operatorname{tg} x - 3 = 0$.
- $D = 1 + 24 = 25$, $\ \operatorname{tg} x = \frac{-1 \pm 5}{4}$: $\ \operatorname{tg} x = 1$ или $\operatorname{tg} x = -\frac32$.
- $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$ или $x = -\operatorname{arctg}\frac32 + \pi k$ — минус выносится, потому что арктангенс нечётный.
Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi k$; $\ -\operatorname{arctg}\frac32 + \pi k$, $\ k \in \mathbb{Z}$
Проверка при $\operatorname{tg} x = -\frac32$: $\ 2 \cdot \frac94 - \frac32 - 3 = \frac92 - \frac92 = 0$.
Когда делить нельзя: выносим множитель
Если в уравнении нет слагаемого с $\sin^2 x$ (коэффициент $a = 0$), то точки $\cos x = 0$ становятся корнями. Деление на $\cos^2 x$ их потеряет. Поэтому общий множитель $\cos x$ выносят за скобки и приравнивают к нулю каждый множитель.
Решить уравнение $\sin x\cos x - \sqrt3\cos^2 x = 0$.
- Слагаемого с $\sin^2 x$ нет — выносим $\cos x$: $\ \cos x\,(\sin x - \sqrt3\cos x) = 0$.
- $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.
- $\sin x - \sqrt3\cos x = 0$ — однородное первой степени с ненулевым коэффициентом при синусе: $\ \operatorname{tg} x = \sqrt3$, $\ x = \frac{\pi}{3} + \pi k$.
Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi k$; $\ \frac{\pi}{3} + \pi k$, $\ k \in \mathbb{Z}$
Проверка при $x = \frac{\pi}{2}$: $\ 1 \cdot 0 - \sqrt3 \cdot 0 = 0$ — корень, который деление бы выбросило.
В уравнении $\sin x\cos x - \sqrt3\cos^2 x = 0$ после деления на $\cos^2 x$ остаётся $\operatorname{tg} x = \sqrt3$, и серия $\frac{\pi}{2} + \pi k$ теряется. За такой ответ ставят 0 баллов: пункт «а» решён неверно. Так же, если нет слагаемого с $\cos^2 x$, выносят $\sin x$.
Иногда уравнение становится однородным только после формулы двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x\cos x$. Например, $\sin 2x = 2\cos^2 x$ после переноса — это $2\cos x\,(\sin x - \cos x) = 0$.
Задание №14 целиком: серия с арктангенсом
а) Решите уравнение $2\sin^2 x - 3\sin x\cos x + \cos^2 x = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$.
- Коэффициент при $\sin^2 x$ не равен нулю — делим на $\cos^2 x$: $\ 2\operatorname{tg}^2 x - 3\operatorname{tg} x + 1 = 0$, $\ \operatorname{tg} x = 1$ или $\operatorname{tg} x = \frac12$.
- Серии: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$ и $x = \operatorname{arctg}\frac12 + \pi k$.
- Обозначим $\alpha = \operatorname{arctg}\frac12$. Так как $0 < \frac12 < 1$, угол лежит между $0$ и $\frac{\pi}{4}$: $\ 0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$. Этого достаточно для отбора.
- Двойное неравенство для второй серии: $\ \pi \le \alpha + \pi k \le \frac{5\pi}{2}$. При $k = 1$ получаем $\pi + \alpha$ — больше $\pi$ и меньше $\frac{5\pi}{4}$, подходит. При $k = 2$ — $2\pi + \alpha < \frac{9\pi}{4}$, тоже подходит. При $k = 3$ число больше $3\pi$, не подходит.
- Первая серия: $\frac{5\pi}{4}$ и $\frac{9\pi}{4}$ лежат на отрезке, $\frac{13\pi}{4}$ — уже нет.
Дуга $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$, $\ \alpha = \operatorname{arctg}\frac12$. Каждая серия с шагом $\pi$ — это две точки на одном диаметре, и обе лежат на дуге
Ответ: а) $\frac{\pi}{4} + \pi k$; $\ \operatorname{arctg}\frac12 + \pi k$, $\ k \in \mathbb{Z}$; б) $\pi + \operatorname{arctg}\frac12$; $\ \frac{5\pi}{4}$; $\ 2\pi + \operatorname{arctg}\frac12$; $\ \frac{9\pi}{4}$
Проверка порядка: $\alpha < \frac{\pi}{4}$, значит $\pi + \alpha < \frac{5\pi}{4}$ и $2\pi + \alpha < \frac{9\pi}{4}$ — корни в ответе выписаны по возрастанию.
Точное значение $\operatorname{arctg}\frac12$ в ответ не подставляют — записывают как есть. Для отбора нужна только оценка, между какими табличными углами он лежит.
Подпишись — и вся теория откроется
71 тема ЕГЭ и 72 темы ОГЭ с разборами примеров. Доступ откроется сразу и сохранится в этом браузере.