Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным и кубическим
Замена и обратная замена; сведение к одной функции через тождество и двойной угол
Содержание 9 разделов
- Идея: одна функция — одна новая переменная
- Уравнение уже квадратное относительно синуса или косинуса
- Две функции: убираем одну через основное тождество
- Разные аргументы: формула двойного угла
- Уравнения с тангенсом и котангенсом
- Кубические уравнения: разложить на множители
- Группировка
- Подбор корня
- Задание №14 целиком: решение и отбор корней
Идея: одна функция — одна новая переменная
Если в уравнение входит только одна тригонометрическая функция одного и того же аргумента — например, только $\sin x$, — её можно обозначить новой буквой: $t = \sin x$. Тригонометрия на время исчезает, и остаётся обычное квадратное или кубическое уравнение. Решив его, возвращаемся к $x$: каждое подходящее значение $t$ даёт простейшее уравнение из памятки 21.
- Привести уравнение к одной функции одного аргумента — с помощью основного тождества или формулы двойного угла.
- Сделать замену $t = \sin x$ (или $\cos x$, или $\operatorname{tg} x$) и сразу записать ограничение на $t$.
- Решить алгебраическое уравнение относительно $t$.
- Отбросить значения $t$, которые нарушают ограничение.
- Сделать обратную замену и решить получившиеся простейшие уравнения.
Ограничение берётся из того, какие значения функция вообще может принимать. Синус и косинус — это координаты точки на окружности радиуса $1$, поэтому для них $-1 \le t \le 1$. Тангенс принимает любые значения, и для него ограничения нет.
Корень $t = 2$ при замене $t = \sin x$ отбрасывается сразу: уравнение $\sin x = 2$ корней не имеет. Если его не отбросить, в ответе появится запись $x = \arcsin 2$, а такого числа не существует — за это снимают балл.
Уравнение уже квадратное относительно синуса или косинуса
Самый простой случай: в уравнении есть $\sin^2 x$ и $\sin x$ (или $\cos^2 x$ и $\cos x$), других функций нет. Значит, после замены тригонометрии не останется вовсе, и получится квадратное уравнение — оно решается через дискриминант.
Решить уравнение $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$.
- Замена $t = \sin x$, $-1 \le t \le 1$: $\ 2t^2 - t - 1 = 0$.
- $D = 1 + 8 = 9$, $\ t = \frac{1 \pm 3}{4}$, то есть $t = 1$ или $t = -\frac12$. Оба значения лежат в $[-1; 1]$.
- $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.
- $\sin x = -\frac12 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.
Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$; $\ -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$; $\ -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $\ k \in \mathbb{Z}$
Проверка при $x = -\frac{\pi}{6}$: $\ 2 \cdot \frac14 - \left(-\frac12\right) - 1 = \frac12 + \frac12 - 1 = 0$.
Решить уравнение $2\cos^2 x + 5\cos x - 3 = 0$.
- Замена $t = \cos x$, $-1 \le t \le 1$: $\ 2t^2 + 5t - 3 = 0$, $\ D = 25 + 24 = 49$.
- $t = \frac{-5 \pm 7}{4}$: $\ t = \frac12$ или $t = -3$. Значение $-3$ отбрасываем, так как косинус не бывает меньше $-1$.
- $\cos x = \frac12 \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$.
Ответ: $\pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $\ k \in \mathbb{Z}$
Проверка: $\ 2 \cdot \frac14 + 5 \cdot \frac12 - 3 = \frac12 + \frac52 - 3 = 0$.
Две функции: убираем одну через основное тождество
Часто в уравнении есть и синус, и косинус, например $\sin^2 x$ и $\cos x$. Заменять сразу нельзя: иначе в уравнении останутся и $t$, и вторая функция. Помогает тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$: квадрат одной функции выражается через квадрат другой.
Убирать нужно ту функцию, которая стоит только в квадрате, потому что квадрат выражается без корней: $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$. А первая степень потребовала бы корня со знаком «плюс-минус»: $\sin x = \pm\sqrt{1 - \cos^2 x}$, и уравнение стало бы иррациональным.
Решить уравнение $2\sin^2 x + 3\cos x - 3 = 0$.
- Синус стоит только в квадрате — заменяем его: $\ 2(1 - \cos^2 x) + 3\cos x - 3 = 0$.
- Раскрываем скобки: $-2\cos^2 x + 3\cos x - 1 = 0$, умножаем на $-1$: $\ 2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0$.
- Замена $t = \cos x$: $\ 2t^2 - 3t + 1 = 0$, $\ t = 1$ или $t = \frac12$.
- $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi k$; $\ \cos x = \frac12 \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$.
Ответ: $2\pi k$; $\ \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $\ k \in \mathbb{Z}$
Проверка при $x = \frac{\pi}{3}$: $\ 2 \cdot \frac34 + 3 \cdot \frac12 - 3 = \frac32 + \frac32 - 3 = 0$.
Разные аргументы: формула двойного угла
Если в уравнении есть $\cos 2x$ и $\sin x$, аргументы разные, поэтому замена снова не работает. Формула двойного угла переводит $\cos 2x$ в функции от $x$. У неё три формы (вывод — в памятке 18):
Выбираем ту форму, в которой стоит уже имеющаяся в уравнении функция. Рядом с $\sin x$ берём $1 - 2\sin^2 x$, рядом с $\cos x$ — $2\cos^2 x - 1$. Значит, во всём уравнении останется одна функция.
Решить уравнение $\cos 2x + 3\sin x - 2 = 0$.
- Рядом стоит $\sin x$, поэтому $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$: $\ 1 - 2\sin^2 x + 3\sin x - 2 = 0$.
- Приводим к виду $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$, замена $t = \sin x$: $\ t = 1$ или $t = \frac12$.
- $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$; $\ \sin x = \frac12 \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.
Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$; $\ \frac{\pi}{6} + 2\pi k$; $\ \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $\ k \in \mathbb{Z}$
Проверка при $x = \frac{\pi}{6}$: $\ \cos\frac{\pi}{3} + 3 \cdot \frac12 - 2 = \frac12 + \frac32 - 2 = 0$.
Если в уравнении $\cos 2x + 3\sin x - 2 = 0$ взять форму $2\cos^2 x - 1$, получится $2\cos^2 x + 3\sin x - 3 = 0$ — снова две функции, и придётся ещё раз применять тождество. Форма выбирается по функции, которая уже стоит в уравнении.
Уравнения с тангенсом и котангенсом
Тангенс и котангенс связаны: $\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}$. После замены $t = \operatorname{tg} x$ котангенс превращается в $\frac{1}{t}$, и уравнение умножают на $t$. Это законно, потому что $t \ne 0$: если котангенс записан в уравнении, он должен существовать, а при $\operatorname{tg} x = 0$ котангенса нет.
Решить уравнение $\operatorname{tg} x + 3\operatorname{ctg} x = 4$.
- Условие: тангенс и котангенс существуют, то есть $\sin x \ne 0$ и $\cos x \ne 0$.
- Замена $t = \operatorname{tg} x$, $t \ne 0$: $\ t + \frac{3}{t} = 4$, умножаем на $t$: $\ t^2 - 4t + 3 = 0$.
- $t = 1$ или $t = 3$ — оба не равны нулю.
- $\operatorname{tg} x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k$; $\ \operatorname{tg} x = 3 \Rightarrow x = \operatorname{arctg} 3 + \pi k$.
Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi k$; $\ \operatorname{arctg} 3 + \pi k$, $\ k \in \mathbb{Z}$
Проверка: при $\operatorname{tg} x = 3$ котангенс равен $\frac13$, и $3 + 3 \cdot \frac13 = 4$.
Кубические уравнения: разложить на множители
Для кубического уравнения нет формулы вроде дискриминанта, поэтому его раскладывают на множители. Произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один множитель, — так кубическое уравнение распадается на линейное и квадратное.
Группировка
Сначала стоит попробовать сгруппировать слагаемые попарно: если у пар появится общая скобка, её можно вынести, и отсюда сразу получится разложение.
Решить уравнение $2\sin^3 x + \cos 2x = \sin x$.
- Двойной угол рядом с синусом: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$. Переносим всё влево: $\ 2\sin^3 x - 2\sin^2 x - \sin x + 1 = 0$.
- Замена $t = \sin x$: $\ 2t^3 - 2t^2 - t + 1 = 0$.
- Группируем: $2t^2(t - 1) - (t - 1) = (t - 1)(2t^2 - 1) = 0$.
- $t = 1$ или $t^2 = \frac12$, то есть $t = \pm\frac{\sqrt2}{2}$ — все три значения лежат в $[-1; 1]$.
- $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. Уравнения $\sin x = \pm\frac{\sqrt2}{2}$ дают четыре точки $\pm\frac{\pi}{4}$, $\pm\frac{3\pi}{4}$, которые идут через каждые $\frac{\pi}{2}$: $\ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$; $\ \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $\ k \in \mathbb{Z}$
Проверка при $x = \frac{\pi}{4}$: $\ 2 \cdot \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^3 + \cos\frac{\pi}{2} = \frac{\sqrt2}{2} = \sin\frac{\pi}{4}$.
Подбор корня
Если группировка не получается, ищут корень среди чисел $\pm1$, $\pm\frac12$. Причина в том, что рациональный корень многочлена с целыми коэффициентами — это дробь, у которой числитель делит свободный член, а знаменатель делит старший коэффициент. Найдя корень $t_0$, многочлен делят на $(t - t_0)$ уголком или подбирают второй множитель.
Решить уравнение $2\sin^3 x - 3\cos^2 x + 2 = 0$.
- Косинус только в квадрате — заменяем: $\ 2\sin^3 x - 3(1 - \sin^2 x) + 2 = 0$, то есть $2\sin^3 x + 3\sin^2 x - 1 = 0$.
- Замена $t = \sin x$: $\ 2t^3 + 3t^2 - 1 = 0$. Пробуем $t = -1$: $\ -2 + 3 - 1 = 0$ — корень.
- Делим на $(t + 1)$: $\ 2t^3 + 3t^2 - 1 = (t + 1)(2t^2 + t - 1) = (t + 1)^2(2t - 1)$.
- $t = -1$ или $t = \frac12$: $\ \sin x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$; $\ \sin x = \frac12 \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.
Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k$; $\ \frac{\pi}{6} + 2\pi k$; $\ \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $\ k \in \mathbb{Z}$
Проверка разложения: $(t + 1)(2t^2 + t - 1) = 2t^3 + t^2 - t + 2t^2 + t - 1 = 2t^3 + 3t^2 - 1$.
Нельзя делить уравнение на $(t - 1)$ или на $\sin x$ — так теряются корни. В уравнении $(t - 1)(2t^2 - 1) = 0$ после деления на $(t - 1)$ пропадает $t = 1$, а с ним вся серия $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. Общий множитель выносят за скобку, а не сокращают.
Задание №14 целиком: решение и отбор корней
а) Решите уравнение $2\cos^2 x + 3\sin x - 3 = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$.
- Косинус только в квадрате: $\ 2(1 - \sin^2 x) + 3\sin x - 3 = 0$, то есть $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$.
- Замена $t = \sin x$: $\ t = 1$ или $t = \frac12$.
- Обратная замена даёт три серии: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $\ \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.
- Отбор по окружности: отмечаем дугу от $\frac{5\pi}{2}$ до $4\pi$ и три точки серий. Верхняя точка — это начало дуги, $\frac{5\pi}{2}$. Точка $\frac{5\pi}{6}$ на этом обороте подписывается как $\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6}$. Точка $\frac{\pi}{6}$ на дугу не попадает.
Дуга $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$ начинается в верхней точке и идёт против часовой стрелки до точки $4\pi$. На неё попали $\frac{5\pi}{2}$ и $\frac{17\pi}{6}$, точка серии $\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ — нет
Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$; $\ \frac{\pi}{6} + 2\pi k$; $\ \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $\ k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{5\pi}{2}$; $\ \frac{17\pi}{6}$
Проверка двойным неравенством для серии $\frac{\pi}{6} + 2\pi k$: $\ \frac{5\pi}{2} \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le 4\pi \Rightarrow \frac{7}{6} \le k \le \frac{23}{12}$ — целых $k$ нет, корней из этой серии на отрезке нет.
В пункте «а» ответ — серии, а не значения $t$. Запись «$t = 1$, $t = \frac12$» — это промежуточный шаг, и без обратной замены пункт «а» не засчитывается.
Подпишись — и вся теория откроется
71 тема ЕГЭ и 72 темы ОГЭ с разборами примеров. Доступ откроется сразу и сохранится в этом браузере.