Тема 21 из 72 · Тригонометрия

Простейшие тригонометрические уравнения. Отбор корней

sin x = a, cos x = a, tg x = a; отбор корней на отрезке по окружности и двойным неравенством

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Содержание 10 разделов

Что такое простейшее уравнение и почему ответ — серия
Аркфункции: какой корень выбрать опорным
Уравнение $\cos x = a$
Уравнение $\sin x = a$
Уравнения $\operatorname{tg} x = a$ и $\operatorname{ctg} x = a$
Когда под функцией не $x$, а $kx + b$
Как уравнение из №14 сводится к простейшему
Отбор корней. Способ 1: по окружности
Отбор корней. Способ 2: двойное неравенство
Как оформить №14 на экзамене

Что такое простейшее уравнение и почему ответ — серия

Простейшими называют уравнения $\sin x = a$, $\cos x = a$ и $\operatorname{tg} x = a$. Любое уравнение из задания №14 после преобразований сводится к одному или нескольким таким уравнениям. Поэтому решать их нужно уверенно и быстро: на них держится весь пункт «а».

Решаем на тригонометрической окружности радиуса $1$. Косинус угла — это абсцисса точки окружности, синус — её ордината. Значит, решить $\cos x = a$ — значит найти на окружности все точки с абсциссой $a$ и записать, каким углам они соответствуют.

У каждой точки окружности бесконечно много углов: если прибавить полный оборот $2\pi$, точка останется той же. Поэтому корень записывают сразу целой серией $x_0 + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Сама серия и есть ответ, а не одно число.

Важно запомнить!

Абсцисса и ордината точки на окружности радиуса $1$ лежат от $-1$ до $1$. Поэтому $\cos x = 1{,}5$ и $\sin x = -2$ корней не имеют вовсе, а вот $\operatorname{tg} x = 5$ имеет: тангенс принимает любые значения.

Аркфункции: какой корень выбрать опорным

Чтобы записать серию, нужен один конкретный угол, от которого она отсчитывается. Таких углов бесконечно много, поэтому договорились брать единственный — из того промежутка, где функция принимает каждое своё значение ровно один раз. Этот угол и называют арксинусом, арккосинусом или арктангенсом.

$\arcsin a$ — угол из отрезка $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $a$. На этом отрезке точка идёт по правой половине окружности снизу вверх, и ордината пробегает все значения от $-1$ до $1$ по одному разу.
$\arccos a$ — угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$. Здесь точка идёт по верхней половине справа налево, и абсцисса пробегает значения от $1$ до $-1$ по одному разу.
$\operatorname{arctg} a$ — угол из интервала $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, тангенс которого равен $a$. Концы не включены, потому что при $x = \pm\frac{\pi}{2}$ тангенс не существует.

$$\begin{array}{c|ccccc} a & 0 & \frac12 & \frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt3}{2} & 1 \\ \hline \arcsin a & 0 & \frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2} \\ \arccos a & \frac{\pi}{2} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{6} & 0 \end{array} \qquad \begin{array}{c|ccc} a & \frac{\sqrt3}{3} & 1 & \sqrt3 \\ \hline \operatorname{arctg} a & \frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} \end{array}$$

Для отрицательных $a$ у арксинуса и арктангенса минус просто выносится: их промежутки симметричны относительно нуля. У арккосинуса так нельзя — его отрезок $[0; \pi]$ не содержит отрицательных углов, поэтому угол отражают относительно оси $Oy$:

$$\begin{gathered} \arcsin(-a) = -\arcsin a \\ \operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg} a \\ \arccos(-a) = \pi - \arccos a \end{gathered}$$

Важно запомнить!

$\arccos\left(-\frac12\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$, а не $-\frac{\pi}{3}$: угол $-\frac{\pi}{3}$ не лежит в $[0; \pi]$. При этом $\arcsin\left(-\frac12\right) = -\frac{\pi}{6}$ — здесь минус выносится законно.

Уравнение $\cos x = a$

Вертикальная прямая $x = a$ при $|a| < 1$ пересекает окружность в двух точках. Они симметричны относительно оси абсцисс: у них одинаковая абсцисса $a$ и противоположные ординаты. Верхняя точка — это угол $\arccos a$ (он из $[0; \pi]$, то есть сверху). Нижняя — тот же угол, отложенный в другую сторону, то есть $-\arccos a$.

$\cos x = \frac12$: точки $\frac{\pi}{3}$ и $-\frac{\pi}{3}$ симметричны относительно оси $Ox$

$$\begin{gathered} \cos x = a \iff x = \pm\arccos a + 2\pi k \\ k \in \mathbb{Z}, \quad |a| \le 1 \end{gathered}$$

При $a = 1$, $a = -1$ и $a = 0$ точки особые, и ответ удобнее писать отдельной серией. Если $a = \pm1$, обе точки сливаются в одну. Если $a = 0$, это верхняя и нижняя точки — они отстоят друг от друга ровно на $\pi$, поэтому их объединяют в одну серию с шагом $\pi$.

$$\begin{gathered} \cos x = 1 \iff x = 2\pi k \\ \cos x = -1 \iff x = \pi + 2\pi k \\ \cos x = 0 \iff x = \frac{\pi}{2} + \pi k \end{gathered}$$

Пример

Решить уравнение $2\cos x + \sqrt3 = 0$.

Выражаем косинус: $\cos x = -\frac{\sqrt3}{2}$.
Находим опорный угол: $\arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Записываем серию: $x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

Проверка: $\cos\frac{5\pi}{6} = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt3}{2}$, значит $2\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right) + \sqrt3 = 0$ — сходится.

Уравнение $\sin x = a$

Горизонтальная прямая $y = a$ пересекает окружность в двух точках, симметричных относительно оси ординат. Правая точка — это $\arcsin a$: он из $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, то есть справа. Левая получается отражением относительно оси $Oy$, а при таком отражении угол $\varphi$ переходит в $\pi - \varphi$. Отсюда две серии:

$\sin x = \frac12$: точки $\frac{\pi}{6}$ и $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ симметричны относительно оси $Oy$

$$\begin{gathered} \sin x = a \iff x = \arcsin a + 2\pi k \\ \text{или} \ \ x = \pi - \arcsin a + 2\pi k,\ \ k \in \mathbb{Z} \\ (|a| \le 1) \end{gathered}$$

Иногда обе серии записывают одной формулой $x = (-1)^n \arcsin a + \pi n$. Она верна, но для отбора корней неудобна: знак меняется через одну точку, и легко ошибиться. Поэтому в задании №14 пишите две серии.

Особые случаи — снова там, где точки сливаются или противоположны:

$$\begin{gathered} \sin x = 1 \iff x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \\ \sin x = -1 \iff x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \\ \sin x = 0 \iff x = \pi k \end{gathered}$$

Пример

Решить уравнение $\sin x = -\frac{\sqrt2}{2}$.

Опорный угол: $\arcsin\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right) = -\frac{\pi}{4}$ — минус выносится.
Первая серия: $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$.
Вторая серия: $x = \pi - \left(-\frac{\pi}{4}\right) + 2\pi k = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$; $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

Проверка: $\sin\frac{5\pi}{4} = -\sin\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt2}{2}$ — сходится. Точка $\frac{5\pi}{4}$ лежит в третьей четверти, где синус отрицателен.

Важно запомнить!

Запись $\pm$ годится только для косинуса. Для $\sin x = \frac12$ ответ $x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ неверен: $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac12$, а не $\frac12$. Правильно: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.

Уравнения $\operatorname{tg} x = a$ и $\operatorname{ctg} x = a$

Тангенс — это отношение $\frac{\sin x}{\cos x}$, то есть наклон прямой, проведённой из центра в точку окружности. Прямая с заданным наклоном пересекает окружность в двух диаметрально противоположных точках. Между ними ровно пол-оборота, поэтому обе точки описываются одной серией с шагом $\pi$, а не $2\pi$:

$\operatorname{tg} x = \sqrt3$: точки $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{4\pi}{3}$ лежат на одном диаметре — между ними ровно $\pi$

$$\begin{gathered} \operatorname{tg} x = a \iff x = \operatorname{arctg} a + \pi k \\ \operatorname{ctg} x = a \iff x = \operatorname{arcctg} a + \pi k \\ k \in \mathbb{Z} \end{gathered}$$

Здесь $a$ может быть любым числом: ограничения $|a| \le 1$ нет. Зато есть ограничение на сам $x$: тангенс существует только при $\cos x \ne 0$. В №14 котангенс обычно переводят в тангенс: $\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}$.

Пример

Решить уравнение $\sqrt3\operatorname{tg} x + 3 = 0$.

Выражаем тангенс: $\operatorname{tg} x = -\frac{3}{\sqrt3} = -\sqrt3$.
Опорный угол: $\operatorname{arctg}(-\sqrt3) = -\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

Проверка: $\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt3$, и $\sqrt3\cdot(-\sqrt3) + 3 = 0$ — сходится.

Когда под функцией не $x$, а $kx + b$

Сначала решают уравнение относительно всего аргумента так, будто это одна буква. Только потом выражают $x$. При делении на коэффициент $k$ делится и период: если $2x = \alpha + 2\pi n$, то $x = \frac{\alpha}{2} + \pi n$ — шаг серии уменьшился вдвое, потому что $x$ «бежит» вдвое медленнее аргумента.

Пример

Решить уравнение $\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac12$.

Обозначаем аргумент: $2x - \frac{\pi}{3} = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, так как $\arccos\left(-\frac12\right) = \frac{2\pi}{3}$.
Переносим $\frac{\pi}{3}$: $2x = \frac{\pi}{3} \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.
Знак «плюс»: $2x = \pi + 2\pi k$, значит $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.
Знак «минус»: $2x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, значит $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$; $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

Проверка: при $x = -\frac{\pi}{6}$ аргумент равен $-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}$, а $\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac12$ — сходится.

Важно запомнить!

Если забыть поделить $2\pi k$ на $2$ и написать $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, потеряется половина корней. Например, $x = \frac{3\pi}{2}$ — корень: аргумент равен $3\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{8\pi}{3}$, а $\cos\frac{8\pi}{3} = \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac12$. Но в серию $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$ он не входит.

Как уравнение из №14 сводится к простейшему

В задании №14 простейшее уравнение спрятано: аргументы вида $x \pm \frac{\pi}{3}$ или $\frac{\pi}{2} - x$ сначала раскрывают по формулам приведения и формулам сложения из памятки 18. Порядок всегда один:

Раскрыть все функции так, чтобы под ними остался просто $x$.
Привести подобные слагаемые.
Если осталось $a\sin x + b\cos x = 0$ — разделить на $\cos x$ и получить уравнение с тангенсом. Делить можно только после обоснования, что $\cos x \ne 0$.

Почему $\cos x$ здесь не может быть нулём: если $\cos x = 0$, уравнение превращается в $a\sin x = 0$, то есть $\sin x = 0$. Но синус и косинус одного угла не бывают нулями одновременно, ведь $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Значит, на $\cos x$ делить законно — и эту фразу проверяющий ждёт увидеть в решении.

Пример

а) Решить уравнение $2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) - 2\sqrt3\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = 0$.
б) Найти все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\right]$.

Синус суммы: $2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 2\left(\sin x\cdot\frac{\sqrt3}{2} + \cos x\cdot\frac12\right) = \sqrt3\sin x + \cos x$.
Формула приведения: $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$, поэтому второе слагаемое равно $-2\sqrt3\sin x$.
Подобные: $\sqrt3\sin x + \cos x - 2\sqrt3\sin x = 0$, то есть $\cos x - \sqrt3\sin x = 0$.
Если $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$ — противоречие с $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Значит, $\cos x \ne 0$, и делим на него: $1 - \sqrt3\operatorname{tg} x = 0$.
$\operatorname{tg} x = \frac{1}{\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{3}$, откуда $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: а) $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$; пункт «б» разобран ниже — двумя способами

Проверка: при $x = \frac{\pi}{6}$ получаем $2\sin\frac{\pi}{3} - 2\sqrt3\sin\frac{\pi}{6} = \sqrt3 - \sqrt3 = 0$ — сходится.

Отбор корней. Способ 1: по окружности

Отрезок из пункта «б» — это кусок числовой оси углов. На окружности он превращается в дугу: начинаем в точке левого конца и идём против часовой стрелки (так растут углы), пока не дойдём до правого конца. Корни — это точки серий, которые попали на эту дугу.

Отметить концы отрезка и выделить дугу от меньшего к большему, против часовой стрелки.
Отметить на окружности точки всех серий из пункта «а».
Выбрать точки на выделенной дуге и посчитать их значения от ближайшего «круглого» угла на этой дуге ($-2\pi$, $-\frac{3\pi}{2}$ и так далее).

Пример

Отобрать корни серии $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$ на отрезке $\left[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\right]$.

Концы: $-\frac{5\pi}{2} = -2\pi - \frac{\pi}{2}$ — это нижняя точка окружности, $-\pi$ — левая. Дуга идёт от нижней точки против часовой стрелки через $-2\pi$ (правая точка) и $-\frac{3\pi}{2}$ (верхняя) к левой — три четверти окружности.
Серия с шагом $\pi$ даёт две точки: $\frac{\pi}{6}$ в первой четверти и $\frac{7\pi}{6}$ в третьей.
На дугу попадает только точка первой четверти. На дуге рядом с ней стоит $-2\pi$, поэтому её значение $-2\pi + \frac{\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6}$.

Дуга $\left[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\right]$ и точки серии $\frac{\pi}{6} + \pi k$: на дугу попала одна

Ответ: б) $-\frac{11\pi}{6}$

Важно запомнить!

Дугу всегда ведут от меньшего числа к большему — против часовой стрелки, даже если оба конца отрицательные. От $-\frac{5\pi}{2}$ к $-\pi$ — это три четверти окружности. Если пойти по часовой, получится оставшаяся четверть, и на ней окажется точка $\frac{7\pi}{6}$, которой в ответе быть не должно.

Отбор корней. Способ 2: двойное неравенство

Серию из пункта «а» подставляют в отрезок из пункта «б»: получается двойное неравенство относительно $k$. Решают его, оставляют только целые $k$ и подставляют их обратно в серию. Способ работает всегда, даже когда отрезок длиннее оборота и дуга на окружности накладывается сама на себя.

Пример

Тот же отбор: серия $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$, отрезок $\left[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\right]$.

Подставляем серию: $-\frac{5\pi}{2} \le \frac{\pi}{6} + \pi k \le -\pi$.
Делим все части на $\pi > 0$, знаки сохраняются: $-\frac52 \le \frac16 + k \le -1$.
Вычитаем $\frac16$: $-\frac{8}{3} \le k \le -\frac{7}{6}$, то есть $-2{,}67 \le k \le -1{,}17$.
Целое $k$ на этом промежутке одно: $k = -2$.
Подставляем: $x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}$.

Ответ: б) $-\frac{11\pi}{6}$ — совпало с первым способом

Если серий две, неравенство решают для каждой отдельно. Окружность при этом удобно держать как проверку: она сразу показывает, не потерялась ли точка.

Пример

Найти корни уравнения $\sin x = -\frac12$ на отрезке $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$.

Серии: $\arcsin\left(-\frac12\right) = -\frac{\pi}{6}$, поэтому $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$.
Первая серия: $\pi \le -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le \frac{5\pi}{2}$, делим на $\pi$: $\frac76 \le 2k \le \frac83$, то есть $\frac{7}{12} \le k \le \frac43$. Подходит $k = 1$: $x = \frac{11\pi}{6}$.
Вторая серия: $1 \le \frac76 + 2k \le \frac52$, то есть $-\frac{1}{12} \le k \le \frac23$. Подходит $k = 0$: $x = \frac{7\pi}{6}$.

Дуга $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$: на неё попали обе точки

Ответ: $\frac{7\pi}{6}$; $\frac{11\pi}{6}$

Проверка по окружности: дуга от $\pi$ против часовой стрелки до $\frac{5\pi}{2}$ проходит третью, четвёртую и первую четверти — обе точки на ней.

Какой способ выбрать. Окружность быстрее и нагляднее, когда отрезок не длиннее полного оборота. Неравенство надёжнее, когда отрезок длинный или у серии необычный шаг ($\frac{\pi}{2}$, $\frac{2\pi}{3}$): точек на окружности тогда много, и их легко перепутать. На экзамене засчитывают оба способа, если отбор показан.

Важно запомнить!

Концы отрезка входят в отрезок: нестрогие знаки $\le$ нельзя менять на строгие. Если $x = -\frac{5\pi}{2}$ получился корнем, он идёт в ответ. И делить неравенство можно только на положительное число — на $\pi$ можно, на $-1$ без смены знаков нельзя.

Как оформить №14 на экзамене

За задание дают до $2$ баллов. Два балла — за обоснованно полученные верные ответы в обоих пунктах. Один балл — если верно решён только пункт «а» или в обоих пунктах всё сделано правильно, кроме вычислительной ошибки. Отсюда правила оформления:

В пункте «а» каждую серию пишут с указанием $k \in \mathbb{Z}$. Если делили на $\cos x$ — одной строкой объясняют, почему он не равен нулю.
В пункте «б» отбор обязательно показывают: рисунок окружности с выделенной дугой и отмеченными точками или цепочку неравенств с найденными $k$. Просто выписанные числа без отбора проверяющий не засчитает как обоснование.
В конце — общий ответ: «а) …; б) …».

← 20. Текстовые задачи движение, работа, смеси 22. Тригонометрические уравнения, сводимые … →