← Маршрут ЕГЭ
Тема 27 из 72 · Алгебра

Логарифмические уравнения

ОДЗ, по определению, равенство логарифмов, посторонние корни, замена; №14

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗
Содержание 8 разделов
  1. Что нужно знать о логарифме
  2. ОДЗ: почему её выписывают первой
  3. По определению логарифма
  4. Равенство логарифмов
  5. Свойства логарифмов и посторонние корни
  6. Замена переменной
  7. Разные основания и переменное основание
  8. Задание №14: логарифм и тригонометрия

Что нужно знать о логарифме

Логарифм числа $b$ по основанию $a$ — это показатель, в который надо возвести $a$, чтобы получить $b$:

$$\begin{gathered} \log_a b = c \iff a^c = b \\ a > 0,\ \ a \ne 1,\ \ b > 0 \end{gathered}$$

Условия на основание те же, что у показательной функции: при отрицательном $a$ степень не всегда определена, а при $a = 1$ любая степень равна единице. Условие $b > 0$ следует из того, что степень положительного числа всегда положительна, — логарифма нуля и отрицательного числа не существует.

В уравнениях постоянно нужны свойства (вывод и примеры — в памятке 14):

$$\begin{gathered} \log_a(xy) = \log_a x + \log_a y \\ \log_a\frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y \\ \log_a x^n = n\log_a x \\ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \end{gathered}$$

ОДЗ: почему её выписывают первой

Каждый логарифм в уравнении накладывает условие: его аргумент больше нуля, а если в основании стоит переменная — основание больше нуля и не равно единице. Эти условия — область допустимых значений (ОДЗ).

Выписывать её нужно до преобразований, потому что преобразования её расширяют. Например, $\log_2 x + \log_2(x - 2)$ определено только при $x > 2$, а свёрнутое $\log_2\big(x(x-2)\big)$ — ещё и при $x < 0$. В расширенной области появляются посторонние корни, и отсеять их можно, только сверившись с исходной ОДЗ.

Важно запомнить!

Найденный корень нужно проверить по ОДЗ, даже если все шаги были верными. В уравнении $\log_3(x^2 - 3x - 5) = \log_3(7 - 2x)$ получаются $x = 4$ и $x = -3$, но при $x = 4$ правая часть равна $\log_3(-1)$, а такого числа нет. Остаётся только $x = -3$.

По определению логарифма

Уравнение $\log_a f(x) = b$ — это прямо определение логарифма: $f(x) = a^b$. Здесь ОДЗ проверять отдельно не нужно: $a^b > 0$, поэтому любой корень уравнения $f(x) = a^b$ автоматически даёт $f(x) > 0$.

Пример

Решить уравнение $\log_2(x^2 - 2x) = 3$.

  1. По определению: $x^2 - 2x = 2^3 = 8$.
  2. $x^2 - 2x - 8 = 0$, $\ x = 4$ или $x = -2$.
  3. Аргумент в обоих случаях равен $8 > 0$ — оба корня подходят.

Ответ: $-2$; $\ 4$

Проверка при $x = -2$: $\ \log_2(4 + 4) = \log_2 8 = 3$.

Равенство логарифмов

Логарифмическая функция монотонна, поэтому каждое значение принимает один раз. Отсюда: если логарифмы с одним основанием равны, равны и их аргументы. Но приравняв аргументы, мы теряем условие их положительности — его проверяют отдельно.

$$\begin{gathered} \log_a f(x) = \log_a g(x) \\ \Updownarrow \\ \begin{cases} f(x) = g(x), \\ f(x) > 0 \end{cases} \end{gathered}$$

Положительность второго аргумента проверять не нужно: он равен первому.

Пример

Решить уравнение $\log_3(x^2 - 3x - 5) = \log_3(7 - 2x)$.

  1. Приравниваем аргументы: $x^2 - 3x - 5 = 7 - 2x$, $\ x^2 - x - 12 = 0$, $\ x = 4$ или $x = -3$.
  2. Проверяем более простой аргумент $7 - 2x > 0$: при $x = 4$ получается $-1$ — не подходит; при $x = -3$ получается $13$ — подходит.

Ответ: $-3$

Проверка: $\ 9 + 9 - 5 = 13$ и $7 + 6 = 13$ — аргументы равны и положительны.

Свойства логарифмов и посторонние корни

Сумму логарифмов сворачивают в логарифм произведения, разность — в логарифм частного. После этого уравнение решается по определению. Но именно здесь ОДЗ расширяется, поэтому проверка корней обязательна.

Пример

Решить уравнение $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3$.

  1. ОДЗ: $x > 0$ и $x - 2 > 0$, значит $x > 2$.
  2. Сворачиваем: $\log_2\big(x(x - 2)\big) = 3$, значит $x^2 - 2x = 8$.
  3. $x = 4$ или $x = -2$. Число $-2$ не входит в ОДЗ — это посторонний корень, он появился при сворачивании.

Ответ: $4$

Проверка: $\log_2 4 + \log_2 2 = 2 + 1 = 3$.

Важно запомнить!

Формула $\log_a x^2 = 2\log_a x$ верна только при $x > 0$. Уравнение $\log_3 x^2 = 2$ имеет два корня, $x = \pm3$, потому что $(-3)^2 = 9$. Если заменить его на $2\log_3 x = 2$, корень $-3$ пропадёт. Правильно: $\log_a x^2 = 2\log_a |x|$.

Замена переменной

Если логарифм входит в уравнение в квадрате, удобно обозначить его буквой: $t = \log_a x$. Ограничений на $t$ нет — логарифм принимает любые значения, — нужно только $x > 0$.

Пример

Решить уравнение $\log_3^2 x - \log_3 x - 2 = 0$.

  1. ОДЗ: $x > 0$. Замена $t = \log_3 x$: $\ t^2 - t - 2 = 0$, $\ t = 2$ или $t = -1$.
  2. $\log_3 x = 2 \Rightarrow x = 9$; $\ \log_3 x = -1 \Rightarrow x = \frac13$. Оба положительны.

Ответ: $\frac13$; $\ 9$

Проверка при $x = \frac13$: $\ (-1)^2 - (-1) - 2 = 0$.

Разные основания и переменное основание

Если основания разные, их приводят к одному по формуле перехода. Чаще всего основания — степени одного числа, и тогда достаточно следствия $\log_{a^k} x = \frac1k\log_a x$.

Пример

Решить уравнение $\log_2 x + \log_8 x = 8$.

  1. ОДЗ: $x > 0$. Так как $8 = 2^3$, $\ \log_8 x = \frac13\log_2 x$.
  2. $\log_2 x + \frac13\log_2 x = 8$, то есть $\frac43\log_2 x = 8$, $\ \log_2 x = 6$.

Ответ: $64$

Проверка: $\log_2 64 + \log_8 64 = 6 + 2 = 8$.

Если переменная стоит в основании, к ОДЗ добавляются условия на основание: оно больше нуля и не равно единице.

Пример

Решить уравнение $\log_x(2x + 3) = 2$.

  1. ОДЗ: $x > 0$, $x \ne 1$, $2x + 3 > 0$.
  2. По определению: $x^2 = 2x + 3$, $\ x = 3$ или $x = -1$.
  3. $x = -1$ не подходит: основание логарифма не может быть отрицательным.

Ответ: $3$

Проверка: $\log_3 9 = 2$.

Задание №14: логарифм и тригонометрия

В №14 часто встречается уравнение вида $\log_a\big(a^{kx} + g(x)\big) = kx$. По определению логарифма $a^{kx} + g(x) = a^{kx}$, и степень сокращается — остаётся тригонометрическое уравнение $g(x) = 0$. ОДЗ при этом выполняется сама: аргумент логарифма равен $a^{kx}$, а это положительное число.

Пример

а) Решите уравнение $\log_4\left(2^{2x} - \sqrt3\cos x - 6\sin^2 x\right) = x$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$.

  1. По определению: $2^{2x} - \sqrt3\cos x - 6\sin^2 x = 4^x$. Так как $2^{2x} = 4^x$, остаётся $-\sqrt3\cos x - 6\sin^2 x = 0$.
  2. $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $\ 6\cos^2 x - \sqrt3\cos x - 6 = 0$. Замена $t = \cos x$: $\ D = 3 + 144 = 147 = (7\sqrt3)^2$, $\ t = \frac{\sqrt3 \pm 7\sqrt3}{12}$.
  3. $t = \frac{2\sqrt3}{3} > 1$ — отбрасываем; $\ t = -\frac{\sqrt3}{2}$: $\ x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.
  4. Отбор: $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi}{6}$ лежит на отрезке; $\frac{5\pi}{6} < \pi$, а $\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} > \frac{5\pi}{2}$.

Ответ: а) $\pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $\ k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{7\pi}{6}$

Проверка: при $\cos x = -\frac{\sqrt3}{2}$, $\sin^2 x = \frac14$ получаем $-\sqrt3 \cdot \left(-\frac{\sqrt3}{2}\right) - 6 \cdot \frac14 = \frac32 - \frac32 = 0$.

← 26. Показательные уравнения