Монотонность и экстремумы
Возрастание и убывание функции, максимум и минимум, наибольшее и наименьшее значение на отрезке, задачи на оптимизацию
Содержание 6 разделов
Как читать график производной
В заданиях №9 нарисован либо график производной $f'$, либо график самой функции $f$. Первым делом выясни, какой именно: одна и та же картинка читается противоположно. Для графика производной действует правило: где $f' > 0$, там функция $f$ возрастает; где $f' < 0$, там убывает. Так получается, потому что производная — это скорость роста: положительная скорость означает подъём, отрицательная — спуск.
| Кривая | Если дан график $f'$ | Если дан график $f$ |
| Выше оси $x$ | $f' > 0$, функция возрастает | значение $f$ положительно |
| Ниже оси $x$ | $f' < 0$, функция убывает | значение $f$ отрицательно |
| Пересекает ось $x$ | $f' = 0$, возможный экстремум | $f = 0$, это нуль функции |
Максимум и минимум на графике $f'$ ищем по смене знака. Если кривая пересекает ось снизу вверх (с «$-$» на «$+$»), функция перестала убывать и начала возрастать — это точка минимума. Если сверху вниз (с «$+$» на «$-$»), это точка максимума. Если кривая лишь коснулась оси и вернулась обратно, знак не поменялся, поэтому экстремума нет.
Не путай, что нарисовано. Пусть кривая в какой-то точке лежит выше оси $x$. Если это график $f'$, функция в этой точке возрастает. Если это график $f$, то функция там лишь принимает положительное значение и вполне может убывать — например, $f(x) = 5 - x$ в точке $x = 1$ положительна и убывает.
График производной: разбор заданий
Все задачи этого раздела — по одному рисунку: график $y = f'(x)$ на интервале $(-6;\ 10)$, концы интервала выколоты. Производная обращается в нуль в точках $-4$, $0$, $4$ и $8$.
Сколько из отмеченных точек $x_1, \ldots, x_7$ лежат на промежутках возрастания функции $f$? Сколько — на промежутках убывания?
- Дан график производной, значит, $f$ возрастает там, где кривая выше оси $x$.
- Выше оси лежат точки $x_1, x_4, x_5, x_7$.
- Ниже оси лежат точки $x_2, x_3, x_6$: там $f' < 0$, и функция убывает.
Ответ: возрастает в $4$ точках, убывает в $3$.
Проверка: $4 + 3 = 7$, все отмеченные точки учтены, и ни одна не лежит на оси.
Найти количество точек максимума и точек минимума функции $f$ на отрезке $[-3;\ 9]$.
- Отмечаем отрезок на оси $x$ и смотрим только его часть графика. Нуль в точке $-4$ в отрезок не попадает, поэтому его не считаем.
- Максимум — смена знака $f'$ с «$+$» на «$-$». В отрезке это только точка $4$: до неё кривая выше оси, после — ниже.
- Минимум — смена знака с «$-$» на «$+$». Это точки $0$ и $8$.
Ответ: точек максимума $1$, точек минимума $2$.
Найти количество точек экстремума функции $f$ на интервале $(-6;\ 10)$.
- Экстремум — это общее название для максимума и минимума. На графике производной ему соответствуют пересечения с осью $x$, где знак меняется.
- Таких пересечений четыре: $-4$, $0$, $4$ и $8$.
Ответ: $4$.
Найти точку максимума функции $f$ на отрезке $[1;\ 9]$.
- В отрезке есть два нуля производной: $4$ и $8$.
- В точке $4$ знак меняется с «$+$» на «$-$» — это максимум. В точке $8$ знак меняется с «$-$» на «$+$» — это минимум, он нам не нужен.
- Спрашивают точку, значит, в ответ идёт её координата по оси $x$.
Ответ: $4$.
«Количество точек» и «точка» — разные вопросы с разными ответами. На этом же рисунке на отрезке $[-3;\ 3]$ «количество точек минимума» равно $1$, а «точка минимума» равна $0$. Читай последнее слово условия, прежде чем писать ответ.
В какой точке отрезка $[1;\ 3]$ функция $f$ принимает наименьшее значение? А наибольшее?
- На отрезке $[1;\ 3]$ кривая целиком выше оси $x$, значит, $f' > 0$ и функция всё время возрастает.
- У возрастающей функции самое маленькое значение — в начале отрезка, самое большое — в конце.
Ответ: наименьшее — в точке $1$, наибольшее — в точке $3$.
В какой точке отрезка $[0;\ 4]$ функция $f$ принимает наибольшее значение?
- На отрезке $[0;\ 4]$ производная неотрицательна: она положительна внутри и равна нулю только на концах.
- Нули на концах не мешают: функция не убывает ни на одном участке, значит, она возрастает на всём отрезке.
- Наибольшее значение у возрастающей функции — в конце отрезка.
Ответ: $4$.
График функции: разбор заданий
Теперь на рисунке сама функция $f$ на отрезке $[-6;\ 10]$ (её производная — та же кривая, что выше). Мыслить нужно иначе: знак производной определяется тем, куда идёт график, а величина — тем, насколько он крутой. Вспомним, что $f'(x_0)$ — это тангенс угла наклона касательной.
В скольких из отмеченных точек $x_1, \ldots, x_7$ производная функции $f$ отрицательна?
- Производная отрицательна там, где график убывает, потому что касательная в таких точках идёт вниз.
- График идёт вниз в точках $x_2$, $x_3$ и $x_6$. В остальных точках он поднимается.
Ответ: $3$.
Найти количество точек отрезка $[-6;\ 10]$, в которых касательная к графику $f$ параллельна оси $x$.
- Касательная параллельна оси $x$, когда её тангенс равен нулю, то есть $f'(x_0) = 0$.
- Это вершины и впадины графика — точки экстремума: их четыре.
Ответ: $4$.
В какой из точек $-1$, $2$, $3$, $6$ значение производной наибольшее? В какой наименьшее?
- Наибольшая производная положительна, поэтому сразу отбрасываем точки, где график убывает: $-1$ и $6$. Остаются $2$ и $3$.
- Из них выбираем ту, где график круче: производная — это крутизна касательной. В точке $2$ график идёт круче, чем в $3$.
- Для наименьшей отбрасываем возрастающие участки: $2$ и $3$. Остаются $-1$ и $6$. Спуск быстрее в точке $6$, значит, там производная самая маленькая (она «более отрицательная»): около $-3$ против примерно $-1{,}3$ в точке $-1$.
Ответ: наибольшая — в точке $2$, наименьшая — в точке $6$.
Чем круче вниз, тем производная меньше. В точке $6$ производная равна примерно $-3$, в точке $-1$ — примерно $-1{,}3$, и $-3 < -1{,}3$. Пологий спуск — это число, близкое к нулю, а не маленькое.
Касательная: значение производной
Если на рисунке уже проведена касательная, действуем по алгоритму из теории: достроить прямоугольный треугольник с вершинами в узлах сетки и найти $\operatorname{tg}\alpha$ как отношение катетов.
На рисунке изображены график функции $y = f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0 = 0$. Найти $f'(x_0)$.
- Касательная построена, она проходит через узлы $(-4;\ -1)$ и $(4;\ 1)$.
- Строим треугольник: горизонтальный катет равен $8$, вертикальный равен $2$.
- $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{2}{8} = 0{,}25$. Функция в точке $x_0$ возрастает, поэтому производная положительна и знак не меняем.
Ответ: $0{,}25$.
Проверка: касательная поднимается на $1$ клетку, пока идёт на $4$ вправо, и это $\frac14$.
Если зеркально отразить рисунок, так что касательная пойдёт вниз при тех же катетах $8$ и $2$, тангенс острого угла по-прежнему $0{,}25$. Но функция убывает, поэтому производная отрицательна: ответ $-0{,}25$.
Наибольшее и наименьшее значение по формуле
До 2026 года такие задачи шли отдельным номером, сейчас его нет. Но тот же приём нужен в №17 — в оптимизации (последний раздел памятки). Когда функция задана формулой, а не графиком, график строить не нужно. Порядок один:
- Найти производную $y'$.
- Решить уравнение $y' = 0$ и оставить только корни, лежащие на заданном отрезке: экстремум за пределами отрезка нас не интересует.
- Определить знак $y'$ слева и справа от каждого корня. Для этого подставляем в $y'$ по одному контрольному числу из каждого промежутка. Знак на промежутке не меняется, потому что производная меняет знак только в нулях, а нулей между двумя соседними точками нет.
- По смене знака понять, максимум это или минимум. Наибольшее значение ищем в максимуме, наименьшее — в минимуме.
- Найти значение исходной функции в этой точке: подставляем в $y$, а не в $y'$.
Найти наибольшее значение функции $y = x^3 - 12x + 5$ на отрезке $[-3;\ 0]$.
- $y' = 3x^2 - 12$: производная числа $5$ равна нулю.
- $3x^2 - 12 = 0$, откуда $x^2 = 4$ и $x = \pm 2$. В отрезок $[-3;\ 0]$ попадает только $x = -2$, число $2$ отбрасываем.
- Знаки: возьмём $x = -3$ слева от $-2$: $y'(-3) = 3\cdot 9 - 12 = 15 > 0$. Возьмём $x = -1$ справа: $y'(-1) = 3 - 12 = -9 < 0$.
- Знак меняется с «$+$» на «$-$», значит, $x = -2$ — точка максимума: функция сначала возрастает, потом убывает.
- Наибольшее значение — в этой точке: $y(-2) = -8 + 24 + 5 = 21$.
Ответ: $21$.
Проверка по концам отрезка: $y(-3) = -27 + 36 + 5 = 14$ и $y(0) = 5$, оба меньше $21$. Второй способ определить вид точки: $y'' = 6x$, $y''(-2) = -12 < 0$ — максимум.
Найти наименьшее значение функции $y = (2x + 15)e^{2x + 16}$ на отрезке $[-12;\ -2]$.
- Это произведение, поэтому $y' = (2x + 15)'\cdot e^{2x+16} + (2x + 15)\cdot\bigl(e^{2x+16}\bigr)'$. Вторая производная — от сложной функции: $\bigl(e^{2x+16}\bigr)' = e^{2x+16}\cdot 2$.
- $y' = 2e^{2x+16} + 2(2x + 15)e^{2x+16} = 2e^{2x+16}\,(1 + 2x + 15) = 2e^{2x+16}\,(2x + 16)$.
- Произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель. Но $e^{2x+16} > 0$ при любом $x$, поэтому остаётся $2x + 16 = 0$, то есть $x = -8$. Это число лежит в отрезке.
- Множитель $2e^{2x+16}$ всегда положителен и знак не меняет, поэтому знак $y'$ совпадает со знаком $2x + 16$. При $x = -10$ получаем $-4 < 0$, при $x = -6$ получаем $4 > 0$.
- Знак меняется с «$-$» на «$+$», значит, $x = -8$ — точка минимума: функция сначала убывает, потом возрастает.
- Наименьшее значение: $y(-8) = (-16 + 15)\,e^{-16 + 16} = -1\cdot e^0 = -1$.
Ответ: $-1$.
Проверка по концам: $y(-12) = -9e^{-8}$ — это очень маленькое по модулю отрицательное число, около $-0{,}003$, оно больше $-1$. А $y(-2) = 11e^{12}$ — огромное положительное число. Значит, $-1$ действительно наименьшее.
Ответ — значение функции, а не производной и не координата точки. В примере 1 производная в точке максимума равна $y'(-2) = 0$, а точка равна $-2$, но ответом служит $21$. Спрашивают «наибольшее значение функции» — подставляй в $y$.
Моделирование: от текстовой задачи к оптимизации (задание 17)
Отдельный тип заданий не даёт функцию готовой — её нужно построить самому по условию. Порядок действий всегда один:
- Обозначить переменную (обычно $x$) — то, что можно менять по условию.
- Выразить через $x$ все остальные величины задачи, используя данные ограничения (периметр, объём, площадь и т.п.).
- Записать целевую величину (то, что нужно максимизировать/минимизировать) как функцию от $x$.
- Найти её экстремум стандартно: $f'(x)=0$, проверить знак производной или знак $f''(x_0)$.
- Вернуться к смыслу задачи: указать не только $x$, но и то, что спрашивалось (объём, стоимость, время).
Из квадратного листа жести со стороной 12 см вырезают по углам четыре одинаковых квадратика со стороной $x$ см и сгибают борта, получая открытую сверху коробку. При каком $x$ объём коробки наибольший?
Шаг 1-2. После вырезания и сгибания дно коробки — квадрат со стороной $(12-2x)$, высота — $x$.
Шаг 3. $V(x) = x(12-2x)^2$, область определения $0 Шаг 4. $V(x)=4x^3-48x^2+144x$, $V'(x)=12x^2-96x+144=12(x^2-8x+12)=12(x-2)(x-6)$.
На $(0;6)$ производная меняет знак с «$+$» на «$-$» в точке $x=2$ — это точка максимума. Шаг 5. $V(2)=2\cdot 8^2=128$ см³. Ответ: $x=2$ см, наибольший объём — $128$ см³.
Затраты предприятия на выпуск партии деталей (в тысячах рублей) выражаются формулой $C(x) = \dfrac{100}{x} + 4x + 20$, где $x$ — количество деталей (в сотнях штук), $x>0$. При каком $x$ затраты минимальны?
Здесь функция уже дана — задача сразу переходит к шагу 4: $C'(x) = -\dfrac{100}{x^2}+4$.
$C'(x)=0 \Rightarrow x^2=25 \Rightarrow x=5$ (второй корень $x=-5$ не подходит по смыслу, $x>0$).
При переходе через $x=5$ знак $C'$ меняется с «$-$» на «$+$» — это минимум.
$C(5) = 20+20+20=60$.
Ответ: $x=5$ (500 деталей), минимальные затраты — $60$ тыс. руб.
Не забывать область определения по смыслу задачи: сторона, время, количество деталей не могут быть отрицательными. Корень уравнения $f'(x)=0$, не подходящий по смыслу, отбрасывается ещё до проверки знака производной.
Подпишись — и вся теория откроется
71 тема ЕГЭ и 72 темы ОГЭ с разборами примеров. Доступ откроется сразу и сохранится в этом браузере.