Введение в тригонометрию. Тригонометрическая окружность

Угол на окружности и радианы

Тригонометрия работает с окружностью радиуса $1$ с центром в начале координат. Угол откладывают от положительного направления оси $Ox$: против часовой стрелки — положительный, по часовой — отрицательный. Полный оборот можно проходить сколько угодно раз, поэтому угол бывает и больше $360^\circ$, и меньше нуля.

Углы измеряют в радианах: радианная мера — это длина дуги, которую угол высекает на окружности радиуса $1$. Длина всей окружности равна $2\pi$, значит полный оборот — это $2\pi$ радиан, а развёрнутый угол — $\pi$:

Углы, отличающиеся на целое число оборотов, попадают в одну и ту же точку: $\frac{\pi}{6}$, $\frac{13\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi$ и $-\frac{11\pi}{6} = \frac{\pi}{6} - 2\pi$ — одна точка. Отсюда в уравнениях появляются серии $x_0 + 2\pi k$ (памятка 21).

Синус и косинус — координаты точки

Повернём радиус на угол $\alpha$. Его конец $M$ лежит на окружности, и у него есть координаты. Абсциссу этой точки называют косинусом угла, ординату — синусом:

Для острого угла это совпадает со школьным определением через прямоугольный треугольник. Опустим из $M$ перпендикуляр на ось $Ox$: гипотенуза — радиус, она равна $1$, поэтому прилежащий катет $\frac{x}{1} = \cos\alpha$, а противолежащий $\frac{y}{1} = \sin\alpha$. Но определение через окружность работает для любых углов, в том числе тупых и отрицательных.

Координаты точки окружности радиуса $1$ не выходят за пределы от $-1$ до $1$. Поэтому $-1 \le \sin\alpha \le 1$ и $-1 \le \cos\alpha \le 1$, а уравнения вроде $\sin x = 2$ решений не имеют.

Тангенс и котангенс

Тангенс — отношение синуса к косинусу, котангенс — наоборот. Деление возможно, только если знаменатель не ноль, поэтому тангенс не существует там, где $\cos\alpha = 0$ (верхняя и нижняя точки окружности), а котангенс — там, где $\sin\alpha = 0$ (левая и правая).

Ограничений на значения у них нет: при приближении косинуса к нулю тангенс становится сколь угодно большим.

Знаки по четвертям

Знак синуса — это знак ординаты точки, знак косинуса — знак абсциссы. Поэтому знаки не нужно заучивать: достаточно представить, где лежит точка. Тангенс — частное синуса и косинуса, он положителен, когда их знаки совпадают.

Табличные значения и откуда они берутся

Значения для $30^\circ$, $45^\circ$ и $60^\circ$ получаются из двух треугольников. Половина квадрата со стороной $1$ — равнобедренный прямоугольный треугольник с углами $45^\circ$: катеты равны, по Пифагору каждый равен $\frac{\sqrt2}{2}$ при гипотенузе $1$. Половина равностороннего треугольника со стороной $1$ даёт углы $30^\circ$ и $60^\circ$: малый катет равен $\frac12$, второй — $\frac{\sqrt3}{2}$.

Синус растёт от $0$ до $1$, косинус убывает — это одни и те же числа в обратном порядке, потому что синус угла равен косинусу дополнительного: $\sin 30^\circ = \cos 60^\circ$. Значения в остальных четвертях получаются отражением этих точек, по модулю они те же — меняется только знак.

Чётность: отрицательный угол

Углы $\alpha$ и $-\alpha$ отложены в разные стороны от оси $Ox$, их точки симметричны относительно этой оси. Абсциссы у них одинаковые, ординаты противоположные. Значит, косинус от знака угла не зависит, а синус, тангенс и котангенс меняют знак.

Формулы приведения

Любой угол сводится к острому, потому что точки окружности симметричны. Поворот на $\pi$ переводит точку в противоположную — обе координаты меняют знак, функция остаётся той же. Поворот на $\frac{\pi}{2}$ меняет координаты местами — синус становится косинусом и наоборот. Отсюда правило из двух шагов:

1. Функция меняется на «кофункцию» ($\sin \leftrightarrow \cos$, $\operatorname{tg} \leftrightarrow \operatorname{ctg}$), если в аргументе $\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$, и остаётся той же при $\pi$ или $2\pi$.
2. Знак — это знак исходной функции в той четверти, куда попадает аргумент, если считать $\alpha$ острым углом.

Основное тригонометрическое тождество

Точка $M(\cos\alpha; \sin\alpha)$ лежит на окружности радиуса $1$, а уравнение этой окружности $x^2 + y^2 = 1$ — это теорема Пифагора для катетов $x$, $y$ и гипотенузы $1$. Подставив координаты, получаем тождество. Если разделить его на $\cos^2\alpha$ или на $\sin^2\alpha$, получаются ещё два.

Формулы сложения, двойного угла и понижения степени

Нужны, когда в выражении угол записан суммой или разностью ($\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ)$) или удвоен ($\cos 2x$ рядом с $\sin x$). В заданиях №8 и №14 — постоянно.

Откуда берётся косинус разности

Возьмём на единичной окружности точки $A(\cos\alpha; \sin\alpha)$ и $B(\cos\beta; \sin\beta)$. Векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ имеют длину $1$, а угол между ними равен $\alpha - \beta$. Скалярное произведение можно посчитать двумя способами: через длины и угол — получится $\cos(\alpha - \beta)$, через координаты — $\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$. Отсюда главная формула, из которой выводятся все остальные:

Если заменить $\beta$ на $-\beta$, косинус не изменится, а синус сменит знак — получится косинус суммы. Синус суммы получается из формулы приведения $\sin\gamma = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \gamma\right)$.

Как не путать знаки: у синуса знак в формуле тот же, что в аргументе, а у косинуса — противоположный.

Двойной угол

Если в формулах суммы положить $\beta = \alpha$, получаются формулы двойного угла. У косинуса три формы: вторая и третья получаются из первой заменой по основному тождеству $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Форму косинуса выбирают по задаче: если известен только синус, берут $1 - 2\sin^2\alpha$; если только косинус — $2\cos^2\alpha - 1$. В уравнениях так добиваются, чтобы осталась одна функция (памятка 22).

Понижение степени

Если из двух последних форм $\cos 2\alpha$ выразить квадраты, получаются формулы понижения степени. Они превращают квадрат функции в первую степень косинуса двойного угла.