Производная. Таблица. Касательная

Что показывает производная

Возьмём параболу $y = x^2$ и сравним, как она ведёт себя в двух точках: $x = 0{,}5$ и $x = 2$. Около $0{,}5$ график набирает высоту лениво, а около $2$ взлетает резко. Производная измеряет именно эту резкость: производная функции в точке — это скорость изменения функции в этой точке.

Производную обозначают штрихом: $y'(2)$ читается «игрек штрих в точке два». Скорость в точке $2$ больше, чем в точке $0{,}5$, поэтому $y'(2) > y'(0{,}5)$. Чем круче идёт график, тем больше производная, и наоборот. Серые прямые на рисунке — касательные: их наклон как раз и показывает эту скорость.

Геометрический способ: касательная и тангенс угла

Касательная — это прямая, которая в точке касания прижимается к графику и повторяет его направление. У параболы она имеет с графиком одну общую точку. Скорость роста функции в точке — это скорость роста этой прямой, а у прямой скорость постоянна и равна её угловому коэффициенту, то есть тангенсу угла наклона. Поэтому:

Здесь $\alpha$ — угол между касательной и горизонтальной прямой. Если на рисунке есть касательная, значение производной находят за три шага.

1. Провести касательную к графику в нужной точке (если её уже нарисовали, шаг сделан).
2. Достроить прямоугольный треугольник так, чтобы его вершины лежали в узлах сетки: тогда длины катетов можно точно сосчитать по клеткам. Гипотенуза — это сама касательная.
3. Найти тангенс угла наклона: $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$. Затем определить знак: функция возрастает — берём плюс, убывает — минус.

Стационарные точки

В вершине параболы, в точке $x = 0$, касательная горизонтальна. Построить треугольник тут нельзя, но он и не нужен: противолежащий катет равен нулю, поэтому $\operatorname{tg}\alpha = 0$ и $y'(0) = 0$. Точки, где производная равна нулю, называют стационарными. Их три вида — по тому, как меняется знак производной при переходе через точку.

Третий вид легко принять за экстремум, поэтому разберём пример. У функции $y = x^3$ производная в нуле равна нулю, но по обе стороны от нуля она положительна: функция возрастала и продолжает возрастать. Знак не поменялся, значит, это не максимум и не минимум.

Алгебраический способ

Чертёж есть не всегда: чаще функция задана формулой. Тогда производную находят по формулам. Первая из них — для степени:

Применить формулу — значит продифференцировать функцию. Результат — новая функция, она и называется производной. Для $y = x^2$ берём $n = 2$ и получаем $y' = 2x^{2-1} = 2x$.

Чтобы найти производную в конкретной точке, подставляем эту точку в $y'$. При $x = 1$ получаем $2 \cdot 1 = 2$: то же число, что дал геометрический способ. Для $x = 2$ выходит $4$, для $x = 0{,}5$ выходит $1$. Раньше мы говорили, что в точке $2$ парабола растёт быстрее, чем в точке $0{,}5$. И правда, $4 > 1$.

Таблица производных

Формул тринадцать. Они нужны наизусть, потому что любая производная в задачах собирается из них.

Несколько формул стоит осмыслить, а не просто выучить.

• Число. График $y = 3$ — горизонтальная прямая, она не растёт и не убывает, поэтому её производная равна нулю.
• $kx$. График $y = 2x$ — прямая, и по всей длине она растёт с одинаковой скоростью, потому что у неё нет изгибов. Значит, производная в любой точке одна и та же: угловой коэффициент $2$.
• Число-множитель. Его можно выносить из-под знака производной: растянули график вдоль оси $y$ в $c$ раз — во столько же раз выросла скорость.
• Корень. Это степень: $\sqrt{x} = x^{1/2}$. По формуле 4 получаем $\dfrac12 x^{\frac12 - 1} = \dfrac12 x^{-\frac12}$. Отрицательная степень переворачивает дробь: $x^{-\frac12} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$. Итого $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
• Число $e$ — константа, примерно $2{,}72$, как $\pi$ в геометрии. Функция $e^x$ выделяется тем, что при дифференцировании не меняется.
• Логарифм. Формула 10 — частный случай формулы 9: у $\ln x$ основание равно $e$, а $\ln e = 1$ (число $e$ в первой степени даёт $e$). Тогда $\dfrac{1}{x\ln e} = \dfrac{1}{x}$.
• Показательная функция. Основание $a$ должно быть положительным и не равным $1$. При $a = e$ формула 11 даёт формулу 8: $e^x \ln e = e^x$.

Правила дифференцирования

Формулы дают производные «простых» функций. Если функции соединены знаками действий или вложены одна в другую, нужны правила.

Сумма и разность

Каждое слагаемое меняется само по себе, и скорости складываются (или вычитаются).

Произведение

Произведение меняется по двум причинам: меняется $f$ при неизменном $g$ (первое слагаемое) и меняется $g$ при неизменном $f$ (второе). Поэтому слагаемых два.

Частное

Числитель похож на правило произведения, но между слагаемыми стоит минус, а знаменатель — квадрат делителя $g$.

Сложная функция

Сложная функция — это матрёшка: одна функция лежит внутри другой. Например, в $\cos(2x - 1)$ внутри косинуса спрятана линейная функция $2x - 1$. Внешняя функция реагирует на внутреннюю, а та, в свою очередь, на $x$. Скорости перемножаются:

Алгоритм: сначала производная внешней функции (внутреннюю оставляем как есть), потом умножаем на производную внутренней.

Уравнение касательной

Касательная — прямая, значит, её уравнение имеет вид $y = kx + b$. Её угловой коэффициент равен производной в точке касания: $k = f'(x_0)$. А проходит она через точку графика $(x_0;\ f(x_0))$. Прямая с известным наклоном $k$ через точку $(x_0;\ y_0)$ задаётся равенством $y - y_0 = k(x - x_0)$, поэтому:

Два следствия пригодятся в задачах. Если касательная горизонтальна, то $f'(x_0) = 0$. Если касательные к двум графикам параллельны, то равны их угловые коэффициенты: $f'(x_1) = g'(x_2)$.

Откуда берутся формулы

Для решения задач достаточно знать формулы. Но чтобы понимать, откуда они берутся, полезно один раз проследить цепочку. Всё начинается с определения. Возьмём две точки графика: $x$ и $x + h$. Прямая через них — секущая, её угловой коэффициент равен $\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}$. Если сдвигать вторую точку к первой, секущая превращается в касательную. Значит, производная — это то, к чему приближается этот коэффициент при $h \to 0$:

Степень, число и $kx$

• Для $c$: числитель $c - c = 0$, поэтому производная равна $0$.
• Для $kx$: $\dfrac{k(x+h) - kx}{h} = \dfrac{kh}{h} = k$.
• Для $x^2$: $\dfrac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \dfrac{2xh + h^2}{h} = 2x + h \to 2x$.
• Для $x^n$ аналогично: в разложении $(x+h)^n = x^n + n x^{n-1}h + \ldots$ все слагаемые после второго содержат $h^2$ и выше, после деления на $h$ они стремятся к нулю. Остаётся $n x^{n-1}$.
• Для $\sqrt{x}$ умножим числитель и знаменатель на сопряжённое: $\dfrac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} = \dfrac{(x+h) - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \dfrac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \to \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$. Этот результат совпал с тем, что даёт формула 4 для $x^{1/2}$.

Тригонометрия

Для синуса раскроем $\sin(x+h)$:

Известно, что при $h \to 0$ отношение $\dfrac{\sin h}{h} \to 1$ (малый угол почти равен своему синусу), а $\dfrac{\cos h - 1}{h} \to 0$. Остаётся $\cos x$. Косинус сводится к синусу: $\cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$, поэтому по правилу сложной функции $(\cos x)' = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\cdot(-1) = -\sin x$. Для тангенса и котангенса используем правило частного: $\operatorname{tg} x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ даёт $\dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \dfrac{1}{\cos^2 x}$, а $\operatorname{ctg} x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$ даёт $\dfrac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = -\dfrac{1}{\sin^2 x}$.

Показательная функция и логарифм

• $\dfrac{e^{x+h} - e^x}{h} = e^x\cdot\dfrac{e^h - 1}{h}$. Число $e$ выбрано так, что $\dfrac{e^h - 1}{h} \to 1$ при $h \to 0$. Поэтому $(e^x)' = e^x$.
• Любое $a > 0$ записывается как $a = e^{\ln a}$, откуда $a^x = e^{x\ln a}$. По правилу сложной функции производная равна $e^{x\ln a}\cdot\ln a = a^x\ln a$.
• Тождество $e^{\ln x} = x$ продифференцируем с обеих сторон: $e^{\ln x}\cdot(\ln x)' = 1$, то есть $x\cdot(\ln x)' = 1$. Отсюда $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$.
• $\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}$, а $\ln a$ — число, которое выносится как множитель. Получаем $(\log_a x)' = \dfrac{1}{x\ln a}$.

Правила

• Сумма: приращение суммы равно сумме приращений, значит, производные складываются.
• Произведение: $f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x) = \bigl[f(x+h) - f(x)\bigr]g(x+h) + f(x)\bigl[g(x+h) - g(x)\bigr]$. Делим на $h$, и при $h \to 0$ получаем $f'g + fg'$.
• Частное: из равенства $g\cdot\dfrac1g = 1$ по правилу произведения $g'\cdot\dfrac1g + g\left(\dfrac1g\right)' = 0$, откуда $\left(\dfrac1g\right)' = -\dfrac{g'}{g^2}$. Тогда $\left(\dfrac fg\right)' = \dfrac{f'}{g} - \dfrac{fg'}{g^2} = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$.
• Сложная функция: если $u = g(x)$, то $\dfrac{\Delta f}{\Delta x} = \dfrac{\Delta f}{\Delta u}\cdot\dfrac{\Delta u}{\Delta x}$. Первая дробь стремится к $f'(u)$, вторая — к $g'(x)$.