← Маршрут ЕГЭ
Тема 15 из 72 · Векторы

Векторы. Координаты, длина, скалярное произведение

Координаты по клеткам и по точкам, длина, действия с векторами, скалярное произведение двумя способами, правила треугольника и параллелограмма

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗
Содержание 15 разделов
  1. Что такое вектор
  2. Координаты вектора
  3. Длина вектора
  4. Действия с векторами
  5. Коллинеарные векторы
  6. Скалярное произведение
  7. Что показывает скалярное произведение
  8. Способ 1: через длины и угол
  9. Способ 2: через координаты
  10. Раскрытие скобок
  11. Угол между векторами
  12. Сложение и вычитание на рисунке
  13. Правило треугольника
  14. Правило параллелограмма
  15. Вычитание

Что такое вектор

Вектор — это отрезок, у которого задано направление: одна точка — начало, другая — конец, на конце рисуют стрелку. Записывают $\overrightarrow{AB}$ (от $A$ к $B$) или одной буквой: $\vec a$.

У вектора важны только длина и направление, а место на плоскости не важно. Два вектора равны, если они направлены одинаково и имеют одинаковую длину, даже когда нарисованы в разных местах. Поэтому вектор можно переносить параллельно самому себе — это всё тот же вектор. На этом держатся все правила ниже.

Координаты вектора

Самый простой способ — посчитать клетки. Идём от начала вектора к концу и смотрим, на сколько клеток сдвинулись по горизонтали и по вертикали. Сдвиг вправо и вверх записывают со знаком «плюс», влево и вниз — со знаком «минус». Первое число — горизонталь, второе — вертикаль, в каком бы порядке ни считали клетки.

вверх 3 вправо 4 A B вниз 4 влево 2 C D

От $A$ до $B$ три клетки вверх и четыре вправо, поэтому $\overrightarrow{AB} = (4;\ 3)$. От $C$ до $D$ четыре клетки вниз и две влево, значит $\overrightarrow{CD} = (-2;\ -4)$.

Если известны координаты точек, клетки считать не нужно. Сдвиг по горизонтали — это разность абсцисс конца и начала, сдвиг по вертикали — разность ординат. Отсюда правило «конец минус начало»:

$$A(x_1;\ y_1),\ B(x_2;\ y_2) \quad\Rightarrow\quad \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1;\ y_2 - y_1)$$

Если вектор отложен от начала координат, его координаты совпадают с координатами конца: вычитаем нули.

Пример

Найти координаты вектора $\overrightarrow{AB}$, если $A(-2;\ 3)$ и $B(4;\ -1)$.

  1. По горизонтали: $4 - (-2) = 6$.
  2. По вертикали: $-1 - 3 = -4$.

Ответ: $(6;\ -4)$

Проверка: из точки $A$ сдвигаемся на $6$ вправо и на $4$ вниз — получаем $(-2 + 6;\ 3 - 4) = (4;\ -1)$, это точка $B$.

Важно запомнить!

Вычитать нужно из конца начало, а не наоборот. «Начало минус конец» даёт вектор $\overrightarrow{BA} = (-6;\ 4)$: длина та же, но направление противоположное. Если в задаче спрашивают абсциссу $\overrightarrow{AB}$, вместо $6$ получится $-6$.

Длина вектора

Длину вектора обозначают $|\vec a|$ или $|AB|$. Сдвиги по горизонтали и по вертикали перпендикулярны, поэтому вместе с самим вектором они образуют прямоугольный треугольник: сдвиги — катеты, вектор — гипотенуза. Значит, длина находится по теореме Пифагора:

|x| = 4 |y| = 3 |a| = 5
$$\vec a = (x;\ y) \quad\Rightarrow\quad |\vec a| = \sqrt{x^2 + y^2}$$

Знак координаты на длину не влияет: катет равен величине сдвига без знака, а при возведении в квадрат минус всё равно исчезает.

Пример

Найти длину вектора $\vec a = (-6;\ 8)$.

  1. Сумма квадратов координат: $(-6)^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
  2. $|\vec a| = \sqrt{100} = 10$.

Ответ: $10$

Проверка: катеты $6$ и $8$ — это египетский треугольник $3,\ 4,\ 5$, увеличенный вдвое, его гипотенуза $10$.

Пример

Найти длину отрезка $AB$, если $A(1;\ -2)$ и $B(4;\ 2)$.

  1. Координаты вектора: $\overrightarrow{AB} = (4 - 1;\ 2 - (-2)) = (3;\ 4)$.
  2. Длина: $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: $5$

Пример

Даны точки $A(2;\ 6)$ и $B(8;\ -2)$. Точка $M$ — середина отрезка $AB$. Найти длину вектора $\overrightarrow{AM}$.

  1. Координаты вектора $\overrightarrow{AB}$: $(8 - 2;\ -2 - 6) = (6;\ -8)$ — шесть шагов вправо и восемь вниз.
  2. Длина по теореме Пифагора: $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$.
  3. Точка $M$ — середина, значит, $AM$ вдвое короче всего отрезка: $|\overrightarrow{AM}| = \dfrac{10}{2} = 5$.

Ответ: $5$

Важно запомнить!

Длина не равна сумме координат. У $\vec a = (3;\ 4)$ длина $\sqrt{9 + 16} = 5$, а не $3 + 4 = 7$: путь по двум катетам длиннее, чем по гипотенузе.

Действия с векторами

С векторами определены три действия: сложение, вычитание и умножение на число. Делить вектор на вектор нельзя, а произведение векторов в ЕГЭ встречается одно — скалярное, и его результат — число, а не вектор (следующий раздел).

Все три действия выполняются покоординатно: горизонтальные сдвиги отдельно, вертикальные отдельно. Так и должно быть: если сначала сдвинуться на $\vec a$, а потом на $\vec b$, то общий сдвиг вправо равен сумме сдвигов вправо, а общий сдвиг вверх — сумме сдвигов вверх.

Для $\vec a = (x_1;\ y_1)$ и $\vec b = (x_2;\ y_2)$:

$$\begin{gathered} \vec a + \vec b = (x_1 + x_2;\ y_1 + y_2) \\ \vec a - \vec b = (x_1 - x_2;\ y_1 - y_2) \\ k\vec a = (kx_1;\ ky_1) \end{gathered}$$

Умножение на число растягивает вектор. Вектор $2\vec a$ направлен так же, как $\vec a$, и вдвое длиннее, потому что оба катета удвоились. При отрицательном $k$ вектор ещё и разворачивается: $-\vec a$ имеет ту же длину и противоположное направление. В общем случае длина меняется в $|k|$ раз.

a 2a −a
Пример

Даны векторы $\vec a = (2;\ -1)$ и $\vec b = (-1;\ 6)$. Найти координаты векторов $\vec a + \vec b$, $\vec a - \vec b$, $3\vec a$ и длину вектора $2\vec a + \vec b$.

  1. $\vec a + \vec b = (2 + (-1);\ -1 + 6) = (1;\ 5)$.
  2. $\vec a - \vec b = (2 - (-1);\ -1 - 6) = (3;\ -7)$.
  3. $3\vec a = (3 \cdot 2;\ 3 \cdot (-1)) = (6;\ -3)$.
  4. $2\vec a = (4;\ -2)$, поэтому $2\vec a + \vec b = (4 - 1;\ -2 + 6) = (3;\ 4)$, а его длина $\sqrt{9 + 16} = 5$.

Ответ: $(1;\ 5)$; $(3;\ -7)$; $(6;\ -3)$; $5$

Проверка последнего: $(\vec a + \vec b) + \vec a = (1 + 2;\ 5 - 1) = (3;\ 4)$ — тот же вектор, что и $2\vec a + \vec b$.

Пример

Даны векторы $\vec a = (4;\ -6)$ и $\vec b = (3;\ -2)$. Найти длину вектора $3\vec a + \vec b$.

  1. Умножаем каждую координату на $3$: $3\vec a = (12;\ -18)$.
  2. Складываем с $\vec b$ покоординатно: $3\vec a + \vec b = (12 + 3;\ -18 + (-2)) = (15;\ -20)$.
  3. Длина: $\sqrt{15^2 + (-20)^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$ (минус у координаты исчез при возведении в квадрат).

Ответ: $25$

Важно запомнить!

Длина суммы не равна сумме длин. Для $\vec a = (3;\ 0)$ и $\vec b = (0;\ 4)$: $|\vec a| + |\vec b| = 7$, а $|\vec a + \vec b| = |(3;\ 4)| = 5$. Сначала складывают координаты, потом находят длину.

Коллинеарные векторы

Векторы коллинеарны, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Такие векторы направлены либо одинаково (сонаправлены), либо в противоположные стороны (противоположно направлены, направления отличаются на $180^\circ$). Векторы, лежащие на пересекающихся прямых, неколлинеарны.

Если $\vec a$ и $\vec b$ сонаправлены, то $\vec a = k\vec b$ при $k > 0$, а если направлены противоположно — при $k < 0$. Тогда координаты у них пропорциональны: отношения координат по соответствующим осям одинаковы и равны этому $k$.

$$\vec a = (x_1;\ y_1) \parallel \vec b = (x_2;\ y_2) \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = k$$
Доказательство

Коллинеарность означает, что $\vec a = k\vec b$ для некоторого числа $k$ (вектор растянули или развернули, умножив на число). Умножение на число умножает обе координаты: $(x_1;\ y_1) = (kx_2;\ ky_2)$. Отсюда $x_1 = kx_2$ и $y_1 = ky_2$, то есть $\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2} = k$. Если координаты $\vec b$ не равны нулю, переход обратный: из равенства отношений получаем $x_1 = kx_2$, $y_1 = ky_2$, а значит, $\vec a = k\vec b$. Чтобы не делить на нуль, то же условие записывают так: $x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$.

Пример

При каком значении $k$ векторы $\vec a = (2;\ k)$ и $\vec b = (3;\ 6)$ коллинеарны?

  1. У коллинеарных векторов отношения координат равны: $\dfrac{2}{3} = \dfrac{k}{6}$.
  2. Перемножаем крест-накрест: $3k = 2 \cdot 6 = 12$, откуда $k = 4$.

Ответ: $4$

Проверка: $\vec a = (2;\ 4)$ — это $\vec b = (3;\ 6)$, умноженный на $\dfrac{2}{3}$, оба вектора лежат на одной прямой.

Скалярное произведение

Скалярное произведение двух векторов — это число (отсюда и название: скаляр — величина без направления). Его определяют через длины векторов и угол между ними:

$$\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos\varphi$$

Угол $\varphi$ — это угол между векторами, отложенными от одной точки. Он бывает от $0^\circ$ до $180^\circ$.

Что показывает скалярное произведение

Длины положительны, поэтому знак скалярного произведения совпадает со знаком косинуса. Значит, по знаку видно, насколько векторы смотрят в одну сторону:

φ < 90° a · b > 0 φ = 90° a · b = 0 φ > 90° a · b < 0
  • угол острый — $\cos\varphi > 0$, произведение положительно: векторы направлены примерно в одну сторону;
  • угол прямой — $\cos 90^\circ = 0$, произведение равно нулю;
  • угол тупой — $\cos\varphi < 0$, произведение отрицательно: векторы направлены в разные стороны.

Отсюда главный признак перпендикулярности: векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Ещё одно следствие: вектор с самим собой образует угол $0^\circ$, а $\cos 0^\circ = 1$, поэтому $\vec a \cdot \vec a = |\vec a|^2$.

Способ 1: через длины и угол

Когда в условии даны длины векторов и угол между ними — например, векторы лежат на сторонах известной фигуры.

Пример

$|\vec a| = 3$, $|\vec b| = 4$, угол между векторами $60^\circ$. Найти $\vec a \cdot \vec b$.

  1. $\cos 60^\circ = \frac12$.
  2. $\vec a \cdot \vec b = 3 \cdot 4 \cdot \frac12 = 6$.

Ответ: $6$

Прикидка: угол острый, произведение должно быть положительным и меньше $3 \cdot 4 = 12$.

Способ 2: через координаты

Когда известны координаты векторов — угол тогда не нужен.

$$\vec a = (x_1;\ y_1),\ \ \vec b = (x_2;\ y_2) \quad\Rightarrow\quad \vec a \cdot \vec b = x_1 x_2 + y_1 y_2$$

Почему получается то же самое число? Векторы $\vec a$, $\vec b$ и $\vec a - \vec b$ образуют треугольник (рисунок в последнем разделе). По теореме косинусов

$$|\vec a - \vec b|^2 = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2|\vec a||\vec b|\cos\varphi$$

Распишем квадраты длин через координаты: $(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 = x_1^2 + y_1^2 + x_2^2 + y_2^2 - 2|\vec a||\vec b|\cos\varphi$. После раскрытия скобок квадраты координат сокращаются, и остаётся $-2x_1x_2 - 2y_1y_2 = -2|\vec a||\vec b|\cos\varphi$. Делим на $-2$ и получаем ровно $x_1x_2 + y_1y_2 = |\vec a||\vec b|\cos\varphi$.

Пример

Найти скалярное произведение векторов $\vec a = (2;\ -1)$ и $\vec b = (3;\ 4)$.

  1. Произведение абсцисс: $2 \cdot 3 = 6$.
  2. Произведение ординат: $(-1) \cdot 4 = -4$.
  3. Сумма: $6 + (-4) = 2$.

Ответ: $2$

Проверка знаком: $\vec a$ смотрит вправо-вниз, $\vec b$ — вправо-вверх, угол между ними острый, и произведение действительно положительно.

Пример

Найти угол между векторами $\vec a = (1;\ 2)$ и $\vec b = (-4;\ 2)$.

  1. $\vec a \cdot \vec b = 1 \cdot (-4) + 2 \cdot 2 = 0$.
  2. Произведение равно нулю, значит векторы перпендикулярны.

Ответ: $90^\circ$

Раскрытие скобок

Скалярное произведение подчиняется тем же правилам, что и обычное умножение: скобки раскрываются «фонтанчиком» (каждое слагаемое первой скобки на каждое второй), а число можно выносить из произведения. А ещё $\vec a \cdot \vec a = |\vec a|^2$ — квадрат длины вектора.

$$(\vec a + \vec b) \cdot \vec c = \vec a \cdot \vec c + \vec b \cdot \vec c, \qquad (k\vec a) \cdot \vec b = k\,(\vec a \cdot \vec b), \qquad \vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a$$
Доказательство

Проверим в координатах: $\vec a = (x_1;\ y_1)$, $\vec b = (x_2;\ y_2)$, $\vec c = (x_3;\ y_3)$.

$$(\vec a + \vec b) \cdot \vec c = (x_1 + x_2)x_3 + (y_1 + y_2)y_3 = (x_1x_3 + y_1y_3) + (x_2x_3 + y_2y_3) = \vec a \cdot \vec c + \vec b \cdot \vec c$$

Так же $(k\vec a) \cdot \vec b = kx_1x_2 + ky_1y_2 = k(x_1x_2 + y_1y_2)$. Перестановка множителей: $x_1x_2 + y_1y_2 = x_2x_1 + y_2y_1$. А $\vec a \cdot \vec a = x_1^2 + y_1^2 = |\vec a|^2$ по формуле длины.

Пример

Известно, что $|\vec a| = 5$, $|\vec b| = 2$, а угол между векторами равен $60^\circ$. Найти $(\vec a + 3\vec b) \cdot (\vec a + 2\vec b)$.

  1. Раскроем скобки: $(\vec a + 3\vec b)(\vec a + 2\vec b) = \vec a \cdot \vec a + 2\,\vec a \cdot \vec b + 3\,\vec b \cdot \vec a + 6\,\vec b \cdot \vec b$.
  2. Квадраты векторов — это квадраты длин: $\vec a \cdot \vec a = 5^2 = 25$ и $\vec b \cdot \vec b = 2^2 = 4$.
  3. Через длины и угол: $\vec a \cdot \vec b = 5 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 10 \cdot \dfrac{1}{2} = 5$.
  4. Складываем: $25 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5 + 6 \cdot 4 = 25 + 10 + 15 + 24 = 74$.

Ответ: $74$

Пример

Даны векторы $\vec a = (3;\ 4)$ и $\vec b = (4;\ -5)$. Найти скалярное произведение $(3\vec a + \vec b) \cdot (\vec a + 2\vec b)$.

  1. $3\vec a = (9;\ 12)$ и $3\vec a + \vec b = (9 + 4;\ 12 + (-5)) = (13;\ 7)$.
  2. $2\vec b = (8;\ -10)$ и $\vec a + 2\vec b = (3 + 8;\ 4 + (-10)) = (11;\ -6)$.
  3. Произведение через координаты: $13 \cdot 11 + 7 \cdot (-6) = 143 - 42 = 101$.

Ответ: $101$

Пример

На клетчатой плоскости отмечены два вектора с целыми координатами: у $\vec a$ — четыре клетки вправо и одна вверх, у $\vec b$ — две клетки вправо и четыре вверх. Найти $\vec a \cdot \vec b$.

  1. Считаем клетки: $\vec a = (4;\ 1)$, $\vec b = (2;\ 4)$. Первая координата всегда по оси $x$, вторая — по $y$.
  2. $\vec a \cdot \vec b = 4 \cdot 2 + 1 \cdot 4 = 8 + 4 = 12$.

Ответ: $12$

Знак положительный: оба вектора смотрят вправо-вверх, угол между ними острый.

Угол между векторами

Если приравнять оба способа, получится формула для косинуса угла между векторами:

$$\cos\varphi = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a| \cdot |\vec b|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$$
Пример

Найти косинус угла между векторами $\vec a = (3;\ 4)$ и $\vec b = (4;\ 3)$.

  1. $\vec a \cdot \vec b = 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 = 24$.
  2. $|\vec a| = \sqrt{9 + 16} = 5$, $\ |\vec b| = \sqrt{16 + 9} = 5$.
  3. $\cos\varphi = \frac{24}{5 \cdot 5} = \frac{24}{25} = 0{,}96$.

Ответ: $0{,}96$

Прикидка: векторы почти сонаправлены, поэтому косинус близок к $1$.

Пример

Найти косинус угла между векторами $\vec a = (3;\ 4)$ и $\vec b = (-4;\ -3)$.

  1. $\vec a \cdot \vec b = 3 \cdot (-4) + 4 \cdot (-3) = -12 - 12 = -24$.
  2. $|\vec a| = \sqrt{9 + 16} = 5$ и $|\vec b| = \sqrt{16 + 9} = 5$.
  3. $\cos\varphi = \dfrac{-24}{5 \cdot 5} = -\dfrac{24}{25} = -0{,}96$ (в бланк ответов ЕГЭ записывают десятичной дробью).

Ответ: $-0{,}96$

Косинус почти равен $-1$: векторы почти противоположно направлены.

Пример

Даны точки $A(0;\ 0)$, $B(7;\ 1)$ и $C(-7;\ 1)$. Найти косинус угла $BAC$.

  1. Угол $BAC$ — это угол между векторами $\overrightarrow{AB} = (7;\ 1)$ и $\overrightarrow{AC} = (-7;\ 1)$.
  2. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 7 \cdot (-7) + 1 \cdot 1 = -48$.
  3. $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}$, значит, знаменатель $\sqrt{50} \cdot \sqrt{50} = 50$.
  4. $\cos \angle BAC = \dfrac{-48}{50} = -0{,}96$.

Ответ: $-0{,}96$

Важно запомнить!

Формула косинуса работает только для ненулевых векторов: у нулевого вектора длина $0$, а на нуль делить нельзя.

Важно запомнить!

Угол между векторами считают, когда они выходят из одной точки. В равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $2$ угол $B$ равен $60^\circ$, но $\overrightarrow{AB}$ в точку $B$ входит, а $\overrightarrow{BC}$ из неё выходит. Продолжим $\overrightarrow{AB}$ за точку $B$: угол между векторами — внешний, $120^\circ$. Поэтому $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 2 \cdot 2 \cdot \cos 120^\circ = -2$, а не $2$.

Сложение и вычитание на рисунке

Правило треугольника

Сумма — это общий сдвиг: сначала на $\vec a$, потом на $\vec b$. Поэтому второй вектор откладывают от конца первого, и сумма идёт из начала первого в конец второго:

A B C a b a + b
$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$$

Удобно проверять по буквам: если конец первого вектора совпадает с началом второго, средняя буква выпадает. Правило работает для любого числа векторов: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$.

Правило параллелограмма

Если векторы выходят из одной точки, на них строят параллелограмм, и сумма — его диагональ из общего начала. Это то же правило треугольника: противоположная сторона параллелограмма параллельна $\vec b$ и равна ему по длине, то есть это и есть вектор $\vec b$, отложенный от конца $\vec a$.

a b a + b a − b

Вычитание

Разность $\vec a - \vec b$ — это вектор, который нужно прибавить к $\vec b$, чтобы получить $\vec a$. Если векторы выходят из одной точки, это вектор из конца $\vec b$ в конец $\vec a$: по правилу треугольника $\vec b + (\vec a - \vec b) = \vec a$. В параллелограмме это вторая диагональ.

$$\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}$$
Пример

В прямоугольнике $ABCD$ стороны $AB = 6$ и $AD = 8$. Найти длины векторов $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}$.

  1. Оба вектора выходят из $A$. По правилу параллелограмма сумма — диагональ $\overrightarrow{AC}$. По теореме Пифагора $AC = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$.
  2. Разность идёт из конца второго вектора в конец первого: $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}$. Это вторая диагональ, а диагонали прямоугольника равны: $DB = 10$.

Ответ: $10$; $10$

Проверка координатами: $A(0;\ 0)$, $B(6;\ 0)$, $D(0;\ 8)$. Тогда $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = (6;\ 8)$ и $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = (6;\ -8)$, длина обоих $\sqrt{36 + 64} = 10$.

Важно запомнить!

В разности важен порядок: $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}$, а $\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BD}$. Длина у них одна, но координаты отличаются знаком: $(6;\ -8)$ и $(-6;\ 8)$.

В пространстве всё устроено так же: у вектора появляется третья координата, а в формулы длины и скалярного произведения добавляется третье слагаемое. Это понадобится в памятке 47 «Метод координат в стереометрии».

← 14. Логарифм и его свойства