Логарифм и его свойства
Определение, основное тождество, свойства, переход к другому основанию
Содержание 8 разделов
Что такое логарифм
Логарифм отвечает на вопрос: в какую степень надо возвести основание, чтобы получить данное число. Запись $\log_a b$ читается «логарифм $b$ по основанию $a$» и означает этот показатель.
Например, $\log_2 8 = 3$, потому что $2^3 = 8$. А $\log_3\frac19 = -2$, потому что $3^{-2} = \frac{1}{9}$: показатель может быть отрицательным и дробным.
Логарифм определён не для всех чисел. Основание берут положительным и не равным единице: при $a = 1$ любая степень равна $1$, и показатель по значению не восстановить. Само число $b$ должно быть положительным, так как положительное основание в любой степени даёт положительное число.
Доказательство
Число $b$ называется подлогарифмическим выражением, число $a$ — основанием. Проверим каждое условие: логарифм существует, только если нашлась степень $c$ с $a^c = b$.
- $b > 0$. Положительное число в любой степени остаётся положительным, поэтому $2^c$ никогда не даст $-4$ или $0$. Значит, $\log_2(-4)$ и $\log_2 0$ не существуют.
- $a > 0$. Если основание отрицательное, то, например, для $\log_{-2} 8$ нужна степень, при которой $(-2)^c = 8$. Но $(-2)^3 = -8$, а не $8$, и другой подходящей степени нет. Основание $0$ тоже не годится: ноль в любой положительной степени равен нулю, поэтому $\log_0 5$ не существует.
- $a \ne 1$. Единица в любой степени равна $1$, значит, $\log_1 25$ не существует (и $\log_1 1$ не определён однозначно: подошла бы любая степень).
Два логарифма встречаются так часто, что у них свои обозначения: десятичный $\lg b = \log_{10} b$ и натуральный $\ln b = \log_e b$, где $e \approx 2{,}718$.
Найти $\log_5\sqrt5$ и $\lg 0{,}001$.
- $\sqrt5 = 5^{\frac12}$, значит $\log_5\sqrt5 = \frac12$.
- $0{,}001 = 10^{-3}$, значит $\lg 0{,}001 = -3$.
Ответ: $\frac12$; $\ -3$
Проверка: $5^{0{,}5} = \sqrt5$ и $10^{-3} = \frac{1}{1000}$.
Вычислить десятичный логарифм числа $10\,000$ и решить уравнение $\log_5(5x - 6) = 2$.
- $\lg 10\,000 = \log_{10} 10\,000$: считаем нули, $10\,000 = 10^4$, значит $\lg 10\,000 = 4$.
- Условие существования логарифма: $5x - 6 > 0$, то есть $x > \dfrac{6}{5}$.
- По определению логарифма $5^2 = 5x - 6$, откуда $25 = 5x - 6$, $5x = 31$, $x = 6{,}2$.
- Проверим условие: $6{,}2 > 1{,}2$, корень подходит.
Ответ: $4$; $\ 6{,}2$
Основное логарифмическое тождество
Раз $\log_a b$ — это показатель, в который нужно возвести $a$, чтобы получить $b$, то, возведя $a$ в эту степень, мы получим $b$. Это и есть основное тождество. Обратное тоже верно: логарифм степени основания равен её показателю.
Ещё одно полезное значение: $\log_a \dfrac{1}{a} = -1$, потому что $a^{-1} = \dfrac{1}{a}$. Все эти равенства — прямое следствие определения: $a^0 = 1$ (при $a > 0$), $a^1 = a$, $a^c = a^c$.
Доказательство
Основное тождество. Обозначим $\log_a b = c$. По определению логарифма это значит $a^c = b$. Подставим вместо $c$ его выражение: $a^{\log_a b} = b$.
Следствие: числа можно поменять местами. Для положительных $b$, $c$ и допустимого $a$:
Запишем $c = a^{\log_a c}$ и $b = a^{\log_a b}$ (основное тождество) и подставим:
Показатели отличаются только порядком множителей, а от перестановки множителей произведение не меняется. Значит, левые части равны.
Вычислить $2^{\log_2 5 + 1}$.
- Сумма в показателе — это произведение степеней: $2^{\log_2 5 + 1} = 2^{\log_2 5} \cdot 2^1$.
- По основному тождеству $2^{\log_2 5} = 5$, поэтому результат равен $5 \cdot 2 = 10$.
Ответ: $10$
Проверка: $\log_2 5 + 1 = \log_2 10$, а $2^{\log_2 10} = 10$.
Вычислить $3^{\log_3 4 + 1}$ и $\log_8 64$.
- $3^{\log_3 4 + 1} = 3^{\log_3 4} \cdot 3^1$ (сумма в показателе — произведение степеней). По основному тождеству $3^{\log_3 4} = 4$, поэтому результат $4 \cdot 3 = 12$.
- $\log_8 64$: в какую степень надо возвести $8$, чтобы получить $64$? Во вторую, $8^2 = 64$.
Ответ: $12$; $\ 2$
Свойства логарифмов и откуда они берутся
Все свойства — это свойства степеней, переписанные на языке показателей. Пусть $x = a^m$ и $y = a^n$, то есть $m = \log_a x$, $n = \log_a y$. Тогда $xy = a^{m+n}$, $\frac{x}{y} = a^{m-n}$, $x^k = a^{mk}$. Значит, логарифм произведения равен сумме логарифмов, частного — разности, а показатель степени выносится множителем.
Все три формулы верны при $x > 0$ и $y > 0$ — иначе логарифмы в правой части не существуют.
Доказательство
Обозначим $\log_a x = m$ и $\log_a y = n$. По определению $x = a^m$ и $y = a^n$.
- Произведение. $xy = a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. По определению логарифма $\log_a(xy) = m + n = \log_a x + \log_a y$.
- Частное. $\dfrac{x}{y} = \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, поэтому $\log_a\dfrac{x}{y} = m - n = \log_a x - \log_a y$.
- Степень подлогарифмического числа. $x^k = (a^m)^k = a^{mk}$, значит $\log_a x^k = mk = k\log_a x$.
Вычислить $\log_6 4 + \log_6 9$.
- Сумма логарифмов с одним основанием — это логарифм произведения: $\log_6(4 \cdot 9) = \log_6 36$.
- $36 = 6^2$, значит результат равен $2$.
Ответ: $2$
По отдельности слагаемые не вычисляются — оба иррациональны, а сумма получается целой. Это типичный признак задачи на свойства.
Вычислить $2\log_5 10 - \log_5 4$.
- Множитель вносим в показатель: $2\log_5 10 = \log_5 100$.
- Разность — это логарифм частного: $\log_5\frac{100}{4} = \log_5 25 = 2$.
Ответ: $2$
Проверка: $5^2 \cdot 4 = 100 = 10^2$ — совпадает с тем, что под логарифмами.
Вычислить $\log_5 200 - \log_5 8$.
- Разность логарифмов с одним основанием — логарифм частного: $\log_5\dfrac{200}{8} = \log_5 25$.
- $25 = 5^2$, значит результат равен $2$.
Ответ: $2$
Логарифм суммы не раскладывается: $\log_2(4 + 4) = \log_2 8 = 3$, а $\log_2 4 + \log_2 4 = 4$. Частное логарифмов — тоже не логарифм частного: $\frac{\log_2 8}{\log_2 2} = 3$, а $\log_2\frac82 = 2$.
Переход к другому основанию
Если основания разные, их приводят к одному. Формула получается из основного тождества: запишем $b = a^{\log_a b}$ и возьмём логарифм по основанию $c$ от обеих частей. По свойству степени $\log_c b = \log_a b \cdot \log_c a$, отсюда:
Из неё следуют три удобных формулы, которые в задачах встречаются чаще самой формулы перехода:
Если степень есть и у основания, и у подлогарифмического числа, множители $m$ и $n$ выносятся вместе: степень основания — «перевёрнутой» дробью, степень числа — как есть.
Доказательство
Формула перехода. Пусть $\log_a b = t$, то есть $a^t = b$. Возьмём логарифм по основанию $c$ от обеих частей: $\log_c b = \log_c a^t = t\log_c a$. Отсюда $t = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$.
Три следствия. Если взять новое основание $c = b$, то $\log_a b = \dfrac{\log_b b}{\log_b a} = \dfrac{1}{\log_b a}$ (так как $\log_b b = 1$): основание и число можно поменять местами, перевернув дробь. Цепочка: $\log_c a \cdot \log_a b = \log_c a \cdot \dfrac{\log_c b}{\log_c a} = \log_c b$ (формула перехода к основанию $c$ для $\log_a b$). Степень основания: пусть $t = \log_{a^m} b^n$, тогда $(a^m)^t = b^n$, то есть $a^{mt} = b^n$, и по определению $mt = \log_a b^n = n\log_a b$, откуда $t = \dfrac{n}{m}\log_a b$.
Если в двух произведениях встречаются одни и те же числа, их можно «склеивать» и менять местами:
Доказательство
Перейдём в обоих логарифмах к основанию $d$: $\log_a b = \dfrac{\log_d b}{\log_d a}$. Тогда $$\log_a b \cdot \log_d c = \frac{\log_d b \cdot \log_d c}{\log_d a}.$$ Это выражение не меняется при перестановке $b$ и $c$: оно равно $\dfrac{\log_d c \cdot \log_d b}{\log_d a} = \log_a c \cdot \log_d b$.
Вычислить $\log_9 27$ и $\log_3 7 \cdot \log_7 81$.
- $9 = 3^2$, $\ 27 = 3^3$: $\ \log_9 27 = \frac12\log_3 27 = \frac12 \cdot 3 = \frac32$.
- Произведение «по цепочке»: $\log_3 7 \cdot \log_7 81 = \log_3 81 = 4$ — промежуточное основание $7$ сокращается.
Ответ: $1{,}5$; $\ 4$
Проверка первого: $9^{1{,}5} = \left(\sqrt9\right)^3 = 27$.
Вычислить $\dfrac{\log_3 8}{\log_3 2}$ и $\log_7 2 \cdot \log_2 49$.
- У дроби логарифмы по одному основанию. Формула перехода читается в обратную сторону: $\dfrac{\log_3 8}{\log_3 2} = \log_2 8$ (в знаменателе стоит новое основание, в числителе — число). $2^3 = 8$, поэтому ответ $3$.
- Число $2$ стоит в подлогарифмическом выражении первого логарифма и в основании второго, логарифмы «склеиваются» по нему: $\log_7 2 \cdot \log_2 49 = \log_7 49 = 2$.
Ответ: $3$; $\ 2$
Степень с логарифмом в показателе
Если основание степени не совпадает с основанием логарифма, но является его степенью, основание переписывают так, чтобы применить основное тождество.
Вычислить $9^{\log_3 5}$.
- $9 = 3^2$, поэтому $9^{\log_3 5} = \left(3^2\right)^{\log_3 5} = \left(3^{\log_3 5}\right)^2$ — показатели можно переставить, так как $(a^m)^n = (a^n)^m$.
- $3^{\log_3 5} = 5$, значит результат равен $5^2 = 25$.
Ответ: $25$
Через свойство: $9^{\log_3 5} = 3^{2\log_3 5} = 3^{\log_3 25} = 25$.
Основное тождество работает только при одинаковых основаниях: $3^{\log_3 5} = 5$, но $9^{\log_3 5} = 25$, а не $5$ и не $45$.
Знак логарифма
Знак логарифма видно сразу, без вычислений. Если основание $a$ и число $b$ лежат по одну сторону от единицы (оба больше $1$ или оба меньше $1$), логарифм положителен. Если по разные стороны — отрицателен.
Доказательство
Перейдём к натуральным логарифмам: $\log_a b = \dfrac{\ln b}{\ln a}$. Функция $\ln x$ положительна при $x > 1$ и отрицательна при $0 < x < 1$. Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака, то есть когда $a$ и $b$ обе больше $1$ или обе меньше $1$. Если знаки разные, дробь отрицательна.
Наглядно: $\log_2 4 = 2$, а число $5$ лишь чуть больше $4$, поэтому степень, в которую надо возвести $2$, чтобы получить $5$, тоже положительна.
Определить знак чисел $\log_2 5$, $\ \log_2\dfrac{1}{3}$ и $\log_{1/3}\dfrac{1}{4}$.
- $\log_2 5$: основание $2 > 1$ и число $5 > 1$ — по одну сторону от единицы, логарифм положителен.
- $\log_2\dfrac{1}{3}$: основание $2 > 1$, а число $\dfrac{1}{3} < 1$ — по разные стороны, логарифм отрицателен. Проверка: $\log_2 3^{-1} = -\log_2 3$, а $\log_2 3 > 0$.
- $\log_{1/3}\dfrac{1}{4}$: основание $\dfrac{1}{3} < 1$ и число $\dfrac{1}{4} < 1$ — по одну сторону, логарифм положителен. Проверка: $\dfrac{\log_3 4^{-1}}{\log_3 3^{-1}} = \dfrac{-\log_3 4}{-1} = \log_3 4 > 0$.
Ответ: первый положителен, второй отрицателен, третий положителен
Сравнение логарифмов
Функция $y = \log_a x$ при $a > 1$ возрастает, а при $0 < a < 1$ убывает — так же, как показательная функция с тем же основанием. Поэтому при основании больше единицы большему числу соответствует больший логарифм, а при основании меньше единицы — меньший.
Определить знак чисел $\log_2 0{,}7$ и $\log_{0{,}5} 0{,}3$.
- $\log_2 1 = 0$, а $0{,}7 < 1$. Основание больше единицы, значит $\log_2 0{,}7 < 0$.
- $\log_{0{,}5} 1 = 0$, $\ 0{,}3 < 1$, но основание меньше единицы, функция убывает, поэтому $\log_{0{,}5} 0{,}3 > 0$.
Ответ: первое отрицательно, второе положительно
Проверка: $0{,}5^{1} = 0{,}5 > 0{,}3$ и $0{,}5^{2} = 0{,}25 < 0{,}3$, значит $\log_{0{,}5} 0{,}3$ лежит между $1$ и $2$ — положителен.
Простейшие логарифмические уравнения
Два вида уравнений решаются сразу. Если по обе стороны стоят логарифмы с одним и тем же основанием $a$ ($a > 0$, $a \ne 1$), их можно «откинуть» и приравнять подлогарифмические выражения; второй вид — логарифм равен числу, и тогда работает определение.
В первом уравнении достаточно потребовать положительность одной функции: раз $f(x) = g(x)$, то и вторая будет положительной автоматически.
Доказательство
Первое. Если $f = g$, логарифмы, конечно, равны. Обратно: пусть $\log_a f = \log_a g$. Возведём $a$ в эту степень: $a^{\log_a f} = a^{\log_a g}$, и по основному тождеству $f = g$. Условие $f > 0$ нужно, чтобы логарифм существовал. Если оно выполнено и $f = g$, то $g > 0$ автоматически.
Второе. Это определение логарифма: $\log_a f = c$ означает $a^c = f$. Правая часть $a^c$ всегда положительна, поэтому условие $f > 0$ выполняется само.
Решить уравнение $\log_{11}(x^2 + 6x) = \log_{11}(x^2 + 27)$.
- Основание $11 > 0$ и $11 \ne 1$, логарифмы по одному основанию: приравниваем $x^2 + 6x = x^2 + 27$.
- Условие запишем для одной функции: $x^2 + 6x > 0$. Это $x(x + 6) > 0$, по методу интервалов $x < -6$ или $x > 0$ (у функции нули $-6$ и $0$, они выколоты; при $x = -1$ значение отрицательно, при $x = -8$ положительно).
- Квадраты сокращаются: $6x = 27$, откуда $x = 4{,}5$.
- $4{,}5 > 0$ — корень входит в допустимый промежуток.
Ответ: $4{,}5$
Решить уравнение $\log_2(11 - x) = \log_2 3 + 3$.
- Условие: $11 - x > 0$, то есть $x < 11$.
- Первый способ. По определению $2^{\log_2 3 + 3} = 11 - x$. Сумма в показателе — произведение степеней: $2^{\log_2 3} \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24$, значит $11 - x = 24$.
- Второй способ. Запишем $3 = \log_2 8$. Сумма логарифмов с одним основанием — логарифм произведения: $\log_2 3 + \log_2 8 = \log_2 24$. Тогда $\log_2(11 - x) = \log_2 24$, и логарифмы можно откинуть: $11 - x = 24$.
- $x = 11 - 24 = -13$, и $-13 < 11$, корень подходит.
Ответ: $-13$
Условие $11 - x > 0$ выполнено автоматически: при $x = -13$ получаем $11 - (-13) = 24 > 0$.
Логарифмические уравнения, где эти свойства применяются к выражениям с переменной, — в памятке 27.
Подпишись — и вся теория откроется
71 тема ЕГЭ и 72 темы ОГЭ с разборами примеров. Доступ откроется сразу и сохранится в этом браузере.