← Маршрут ЕГЭ
Тема 10 из 72 · Планиметрия

Четырёхугольники параллелограмм, ромб, трапеция

Свойства и признаки параллелограмма, ромба; средняя линия трапеции; площади четырёхугольников

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗
Содержание 11 разделов
  1. Виды четырёхугольников
  2. 1. Параллелограмм
  3. 2. Прямоугольник
  4. 3. Ромб
  5. 4. Квадрат
  6. 5. Трапеция
  7. 6. Площади четырёхугольников
  8. Параллелограмм
  9. Ромб и квадрат
  10. Трапеция
  11. Любой выпуклый четырёхугольник

Виды четырёхугольников

Классификация четырёхугольников

Четырёхугольник → Параллелограмм (противоположные стороны попарно параллельны) или Трапеция (только одна пара параллельных сторон).

Параллелограмм → Прямоугольник (все углы прямые) или Ромб (все стороны равны).

Прямоугольник + Ромб → Квадрат.

Трапеция → Равнобедренная трапеция (боковые стороны равны) или Прямоугольная трапеция (один угол прямой).

1. Параллелограмм

Определение: четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства (всегда верны):

  1. Противоположные стороны равны.
  2. Противоположные углы равны.
  3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180°$.
  4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
  5. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$.

Признаки (если выполняется хотя бы один — перед нами параллелограмм):

  1. Две противоположные стороны равны и параллельны.
  2. Противоположные стороны попарно равны.
  3. Противоположные углы попарно равны.
  4. Диагонали делятся пополам точкой пересечения.
  5. Сумма углов при одной стороне равна $180°$.

Формулы:

$$S = a \cdot h = ab \cdot \sin\alpha = \tfrac{1}{2} d_1 d_2 \cdot \sin\varphi$$
$$P = 2(a + b)$$

2. Прямоугольник

Определение: параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства: всё, что есть у параллелограмма, плюс диагонали равны ($d_1 = d_2$). Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность (её центр — точка пересечения диагоналей).

Признаки:

  1. Параллелограмм + один угол $90°$.
  2. Параллелограмм + диагонали равны.

Формулы:

$$S = a \cdot b = \tfrac{1}{2} d^2 \cdot \sin\varphi, \qquad d = \sqrt{a^2 + b^2}, \qquad P = 2(a + b)$$

3. Ромб

Определение: параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства: всё, что есть у параллелограмма, плюс диагонали пересекаются под прямым углом ($d_1 \perp d_2$), и каждая диагональ делит свои углы пополам. В ромб всегда можно вписать окружность (её центр — точка пересечения диагоналей).

Признаки:

  1. Параллелограмм + две соседние стороны равны.
  2. Параллелограмм + диагонали перпендикулярны.
  3. Параллелограмм + диагональ делит угол пополам.

Формулы:

$$S = a \cdot h = a^2 \sin\alpha = \tfrac{1}{2} d_1 d_2, \qquad P = 4a$$

4. Квадрат

Определение: прямоугольник, у которого все стороны равны (или ромб с прямыми углами).

Свойства: квадрат сочетает в себе все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Диагонали равны, перпендикулярны, делятся пополам и являются биссектрисами углов. Центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

Признаки:

  1. Прямоугольник + две соседние стороны равны.
  2. Ромб + один угол $90°$.
  3. Параллелограмм + диагонали равны и перпендикулярны.

Формулы:

$$S = a^2 = \tfrac{1}{2} d^2, \qquad P = 4a, \qquad d = a\sqrt{2}$$
$$R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{d}{2}, \qquad r = \frac{a}{2}$$

5. Трапеция

Определение: четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (их называют основаниями), а две другие — не параллельны (боковые стороны).

Виды: прямоугольная (одна боковая сторона перпендикулярна основаниям), равнобедренная (боковые стороны равны).

Свойства (общие для всех трапеций):

  1. Средняя линия $m = \dfrac{a+b}{2}$ — она параллельна основаниям.
  2. Углы при каждом основании дают в сумме $180°$.

Свойства равнобедренной трапеции: углы при каждом основании равны; диагонали равны; если опустить высоту из вершины, она отсечёт отрезок $\dfrac{a-b}{2}$.

Признаки равнобедренной трапеции:

  1. Углы при основании равны.
  2. Диагонали равны.

Формулы:

$$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = m \cdot h, \qquad h_{\text{равноб.}} = \sqrt{c^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2}$$

6. Площади четырёхугольников

Параллелограмм

Если от параллелограмма отрезать треугольник по высоте и приложить его с другой стороны, получится прямоугольник с той же стороной и той же высотой. Поэтому площадь — сторона на высоту к ней. Высоту можно выразить через соседнюю сторону и угол: $h = b\sin\alpha$.

$$S = a h_a = ab\sin\alpha$$
Пример

Стороны параллелограмма $5$ и $8$, угол между ними $30^\circ$. Найти площадь.

  1. $S = 5 \cdot 8 \cdot \sin 30^\circ = 40 \cdot \frac12$.

Ответ: $20$

Проверка: высота к стороне $8$ равна $5 \cdot \frac12 = 2{,}5$, и $8 \cdot 2{,}5 = 20$.

Ромб и квадрат

Ромб — это параллелограмм, поэтому для него верны те же формулы. Но у ромба есть своя: диагонали перпендикулярны и делят его на четыре равных прямоугольных треугольника. Вместе они составляют половину прямоугольника со сторонами $d_1$ и $d_2$, отсюда половина произведения диагоналей. Квадрат — ромб с равными диагоналями, $S = a^2 = \frac{d^2}{2}$.

$$S_{\text{ромба}} = \frac12 d_1 d_2 = a^2\sin\alpha$$
Пример

Диагонали ромба равны $6$ и $8$. Найти площадь и высоту ромба.

  1. $S = \frac12 \cdot 6 \cdot 8 = 24$.
  2. Половины диагоналей $3$ и $4$ — катеты, сторона ромба — гипотенуза: $\sqrt{9 + 16} = 5$.
  3. Метод площадей: $S = a \cdot h$, значит $h = \frac{24}{5} = 4{,}8$.

Ответ: $24$; $\ 4{,}8$

Высота ромба меньше его стороны: $4{,}8 < 5$.

Важно запомнить!

Площадь ромба равна $a^2$ только у квадрата. Ромб со стороной $5$ и углом $30^\circ$ имеет площадь $25 \cdot \frac12 = 12{,}5$, а не $25$.

Трапеция

Диагональ делит трапецию на два треугольника. Их основания — основания трапеции $a$ и $b$, а высота у обоих одна — высота трапеции $h$. Складывая $\frac12 ah$ и $\frac12 bh$, получаем полусумму оснований на высоту, то есть среднюю линию на высоту.

$$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$$
Пример

Основания равнобедренной трапеции $4$ и $10$, боковая сторона $5$. Найти площадь.

  1. Высота, опущенная из вершины меньшего основания, отсекает от большего отрезок $\frac{10 - 4}{2} = 3$.
  2. Высота по теореме Пифагора: $h = \sqrt{25 - 9} = 4$.
  3. $S = \frac{4 + 10}{2} \cdot 4 = 28$.

Ответ: $28$

Проверка: прямоугольник $4 \times 4$ и два треугольника $\frac12 \cdot 3 \cdot 4$ дают $16 + 6 + 6 = 28$.

Любой выпуклый четырёхугольник

Если известны диагонали и угол между ними, площадь любого выпуклого четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла. Для ромба угол прямой, и формула превращается в $\frac12 d_1 d_2$.

$$S = \frac12 d_1 d_2\sin\varphi$$
Пример

Диагонали четырёхугольника равны $6$ и $10$, угол между ними $30^\circ$. Найти площадь.

  1. $S = \frac12 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac12$.

Ответ: $15$

Формула не зависит от вида четырёхугольника: и у параллелограмма, и у трапеции с такими диагоналями площадь та же.

← 9. Треугольник. Подобие. Теорема Пифагора