Стереометрия

Возьмём параллелепипед с основанием $ABCD$ ($AB = a$, $AD = b$) и высотой $CC_1 = c$.

1. Диагональ основания по теореме Пифагора в прямоугольнике $ABCD$: $AC^2 = a^2 + b^2$.
2. Ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания, значит, и прямой $AC$. Треугольник $ACC_1$ прямоугольный с катетами $AC$ и $CC_1 = c$.
3. Ещё раз теорема Пифагора: $d^2 = AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2 = a^2 + b^2 + c^2$.

Объём $V = abc$: на нижней грани помещается $a \cdot b$ единичных квадратов, а таких слоёв высотой $1$ ровно $c$, поэтому единичных кубиков $a \cdot b \cdot c$. Для нецелых длин это следует из определения объёма.

Идём от простого случая к общему.

1. Прямоугольный параллелепипед $a \times b \times c$: $V = abc = (ab) \cdot c = S_{\text{осн}} \cdot h$ (см. доказательство выше).
2. Прямая призма, в основании прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$: две такие призмы, сложенные гипотенузными гранями, дают прямоугольный параллелепипед $a \times b \times h$. Значит, $V = \dfrac{1}{2}abh = S_{\text{осн}} \cdot h$.
3. Прямая призма с любым треугольником в основании: высота, проведённая к наибольшей стороне, делит треугольник на два прямоугольных, а призму — на две призмы из шага 2. Объёмы складываются: $V = (S_1 + S_2) \cdot h = S_{\text{осн}} \cdot h$.
4. Прямая призма с многоугольником в основании: разрежем основание диагоналями из одной вершины на треугольники. Призма распадается на треугольные призмы с одной высотой $h$, и $V = (S_1 + S_2 + \dots) \cdot h = S_{\text{осн}} \cdot h$.
5. Наклонная призма: по принципу Кавальери (если у двух тел на любой одинаковой высоте площади сечений равны, то равны и объёмы). У наклонной призмы сечение плоскостью, параллельной основаниям, на любой высоте равно основанию; то же верно для прямой призмы с тем же основанием и той же высотой $h$. Значит, и объём тот же: $V = S_{\text{осн}} \cdot h$.

Почему у правильной пирамиды боковые рёбра равны. Пусть $SO$ — высота, $O$ — центр правильного многоугольника в основании. Центр правильного многоугольника одинаково удалён от всех его вершин: $OA = OB = OC = \dots = r$. Треугольники $SOA$, $SOB$, $SOC$, … прямоугольные (высота перпендикулярна любой прямой основания), у них общий катет $SO$ и равные катеты $OA = OB = \dots$. Значит, равны и гипотенузы — боковые рёбра: $SA = SB = SC = \dots = \sqrt{SO^2 + r^2}$. Тогда боковые грани — равнобедренные треугольники, равные по трём сторонам.

Треугольная пирамида. Любую треугольную пирамиду $A_1ABC$ (вершина $A_1$, основание $ABC$ с площадью $S$, высота $h$) можно достроить до треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ с тем же основанием и той же высотой. Её объём $S \cdot h$. Плоскости $A_1BC$ и $A_1B_1C$ разрезают призму на три треугольные пирамиды.

1. $A_1ABC$ — исходная пирамида, её объём обозначим $V_1$.
2. $CA_1B_1C_1$: основание $A_1B_1C_1$ равно основанию $ABC$, а высота из вершины $C$ равна $h$. Основание и высота те же, что у первой пирамиды, значит, объём тоже $V_1$.
3. $A_1B_1BC$ и $A_1B_1C_1C$ имеют общую вершину $A_1$. Их основания $B_1BC$ и $B_1C_1C$ — две равные половины параллелограмма $BCC_1B_1$, лежащие в одной плоскости. Значит, у них одинаковые основания и одна высота, и объёмы равны. Вторая из них — пирамида из шага 2, её объём $V_1$.

Три пирамиды равны по объёму, поэтому $3V_1 = S \cdot h$ и $V_1 = \dfrac{1}{3} S \cdot h$.

Любая пирамида. Разобьём многоугольник в основании диагоналями из одной вершины на треугольники. Пирамида разделится на треугольные с общей вершиной и общей высотой $h$: $V = \dfrac{1}{3}(S_1 + S_2 + \dots) h = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} h$.

Впишем в цилиндр правильную $n$-угольную призму той же высоты $h$: её основание — правильный $n$-угольник, вписанный в круг основания. По формуле для призмы $V_n = S_n \cdot h$, где $S_n$ — площадь этого $n$-угольника. С ростом $n$ многоугольник всё точнее заполняет круг, и $S_n$ приближается к $\pi R^2$, а призма — к цилиндру. Поэтому $V = \pi R^2 \cdot h$.

Впишем в конус правильную $n$-угольную пирамиду с той же вершиной и той же высотой $h$: её основание — правильный $n$-угольник, вписанный в круг основания. Объём пирамиды $V_n = \dfrac{1}{3} S_n h$, где $S_n$ — площадь этого $n$-угольника. С ростом $n$ площадь $S_n$ приближается к $\pi R^2$, а пирамида — к конусу, поэтому $V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h$.

Откуда формула боковой поверхности. Развёрнутая боковая поверхность конуса — круговой сектор радиуса $l$. Длина его дуги равна длине окружности основания, то есть $2\pi R$. Целый круг радиуса $l$ имеет длину окружности $2\pi l$ и площадь $\pi l^2$. Сектор составляет долю $\dfrac{2\pi R}{2\pi l} = \dfrac{R}{l}$ от круга, поэтому его площадь равна $\pi l^2 \cdot \dfrac{R}{l} = \pi R l$.

Объём (идея Архимеда). Поставим на одну плоскость полушар радиуса $R$ и тело «цилиндр минус конус»: цилиндр с радиусом основания $R$ и высотой $R$, из которого вынут конус с вершиной в центре нижнего основания (его основание — верхнее основание цилиндра).

1. На высоте $x$ от плоскости сечение полушара — круг радиуса $\sqrt{R^2 - x^2}$ (теорема Пифагора), его площадь $\pi(R^2 - x^2)$.
2. Сечение второго тела на той же высоте — кольцо между окружностями радиусов $R$ и $x$ (у конуса радиус равен высоте, поэтому на высоте $x$ радиус сечения тоже $x$). Площадь кольца $\pi R^2 - \pi x^2 = \pi(R^2 - x^2)$.
3. Площади сечений равны на любой высоте, значит, по принципу Кавальери равны и объёмы: $V_{\text{полушара}} = \pi R^2 \cdot R - \dfrac{1}{3}\pi R^2 \cdot R = \dfrac{2}{3}\pi R^3$.
4. Объём шара вдвое больше: $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$.

Площадь поверхности. Разобьём сферу на очень мелкие участки площадью $S_i$ и соединим их с центром. Получатся тонкие пирамиды с высотой, почти равной $R$, их объёмы $\approx \dfrac{1}{3} S_i R$. Сложив, получаем $V = \dfrac{1}{3} S R$, где $S$ — площадь всей сферы. Отсюда $S = \dfrac{3V}{R} = \dfrac{3}{R} \cdot \dfrac{4}{3}\pi R^3 = 4\pi R^2$.