Треугольник. Подобие. Теорема Пифагора

Содержание 12 разделов

1. Виды и свойства треугольников
2. Как доказать, что треугольники равны
3. Как доказать равенство прямоугольных треугольников
4. Медианы и биссектрисы треугольника
5. Теорема Пифагора
6. Подобие треугольников
7. Как доказать, что треугольники подобны
8. Подобие прямоугольных треугольников
9. Теорема Фалеса
10. Площадь треугольника
11. Формула Герона
12. Метод площадей

Виды и свойства треугольников

По углам: остроугольный (все углы меньше $90°$), прямоугольный (один угол равен $90°$), тупоугольный (один угол больше $90°$). По сторонам: равносторонний (все стороны равны, все углы по $60°$), равнобедренный (две стороны равны), разносторонний (все стороны разные).

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот — против большего угла лежит большая сторона.

Как доказать, что треугольники равны

1. По двум сторонам и углу между ними — если у двух треугольников совпадают две стороны и угол, который между ними, то треугольники равны.
2. По стороне и двум углам, которые к ней прилегают — если совпадают одна сторона и два угла рядом с ней, то треугольники равны.
3. По трём сторонам — если все три стороны совпадают, то треугольники точно равны.

Как доказать равенство прямоугольных треугольников

1. По двум катетам
2. По катету и гипотенузе
3. По катету и прилежащему острому углу
4. По катету и противолежащему острому углу
5. По гипотенузе и острому углу

Средняя линия треугольника — это отрезок, который соединяет середины двух сторон. Она всегда параллельна третьей стороне и равна её половине.

Медианы и биссектрисы треугольника

Медиана — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Все три медианы пересекаются в одной точке. Эта точка делит каждую медиану так, что часть от вершины в 2 раза длиннее, чем часть от середины стороны. То есть если всю медиану разделить на 3 равные части, то от вершины будет 2 части, а от стороны — 1 часть.

Биссектриса — это отрезок, который делит угол треугольника пополам.

У биссектрисы есть важное свойство: она делит противоположную сторону на две части, которые относятся друг к другу так же, как стороны, прилежащие к этому углу.

Все три биссектрисы пересекаются в одной точке. Эта точка является центром окружности, которая касается всех сторон треугольника изнутри.

Здесь $r$ — радиус вписанной окружности (которая касается всех сторон), $S$ — площадь треугольника, $p$ — полупериметр (половина суммы всех сторон).

Теорема Пифагора

где $c$ — гипотенуза (самая длинная сторона, лежит напротив прямого угла), $a$ и $b$ — катеты (стороны, образующие прямой угол).

Пифагоровы тройки — это такие наборы чисел, которые точно подходят под теорему Пифагора. Их полезно запомнить: $(3, 4, 5)$, $(5, 12, 13)$, $(8, 15, 17)$, $(7, 24, 25)$. Также работают их кратные: $(6, 8, 10)$, $(9, 12, 15)$ и так далее.

Подобие треугольников

Треугольники называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны пропорциональны. Коэффициент подобия $k$ показывает, во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого.

Как доказать, что треугольники подобны

1. По двум равным углам — если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны. Это самый частый способ.
2. По двум пропорциональным сторонам и углу между ними
3. По трём пропорциональным сторонам

Подобие прямоугольных треугольников

1. По одному острому углу
2. По пропорциональности двух катетов
3. По пропорциональности катета и гипотенузы

Если треугольники подобны с коэффициентом $k$, то их площади относятся как $k^2$: $\dfrac{S_1}{S_2} = k^2$.

Теорема Фалеса

Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то они отсекают на этих сторонах пропорциональные отрезки.

Теорема о биссектрисе: биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам: $\dfrac{m}{n} = \dfrac{a}{b}$.

В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из прямого угла на гипотенузу, делит его на два треугольника, которые подобны исходному и подобны друг другу.

Площадь треугольника

Треугольник — это половина параллелограмма с тем же основанием и той же высотой: если приложить к нему такой же треугольник, получится параллелограмм. Площадь параллелограмма — основание на высоту, поэтому у треугольника — половина этого произведения.

Если высота неизвестна, но известны две стороны и угол между ними, высоту выражают через синус: $h_a = b\sin C$. Отсюда вторая формула. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ угол равен $60^\circ$, и получается $S = \frac{a^2\sqrt3}{4}$.

Формула Герона

Если известны только три стороны, площадь находят по формуле Герона через полупериметр $p = \frac{a + b + c}{2}$. Она получается из теоремы Пифагора: высоту выражают через стороны и подставляют в $\frac12 ah$.

Ещё две формулы связывают площадь с окружностями. Центр вписанной окружности соединяют с вершинами — получаются три треугольника с высотой $r$, отсюда $S = pr$. Для описанной окружности $S = \frac{abc}{4R}$. В треугольнике $13, 14, 15$: $\ r = \frac{84}{21} = 4$.

Метод площадей

Одну и ту же площадь можно посчитать двумя способами. Если приравнять результаты, получится уравнение на неизвестную величину — чаще всего высоту.

Второй приём — отношение площадей. У треугольников с общей высотой площади относятся как основания, потому что в формуле $\frac12 ah$ меняется только основание. Отсюда, например, медиана делит треугольник на две равные по площади части.