Прямоугольник. Квадрат. Трапеция

Содержание 13 разделов

1. Прямоугольник. Квадрат. Трапеция
2. 1. Прямоугольник
3. 2. Квадрат
4. 3. Дельтоид
5. 4. Трапеция
6. 5. Признаки равнобедренной трапеции
7. 6. Биссектриса угла трапеции
8. 7. Средняя линия трапеции
9. 8. Равнобедренная трапеция
10. 9. Замечательное свойство трапеции
11. 10. Отрезок между серединами диагоналей
12. 11. Подобие треугольников при диагоналях трапеции
13. 12. Типичные задания из ОГЭ

Прямоугольник. Квадрат. Трапеция

1. Прямоугольник

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые (по 90°).

Свойства:

• Диагонали равны: $AC = BD$
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам — поэтому все четыре отрезка $AO$, $BO$, $CO$, $DO$ равны
• Наследует все свойства параллелограмма

Признаки. Параллелограмм — прямоугольник, если:

1. его диагонали равны, или
2. один из его углов равен 90°

2. Квадрат

Квадрат объединяет свойства прямоугольника и ромба: все углы прямые и все стороны равны.

• Прямоугольник — квадрат, если у него равны смежные стороны
• Ромб — квадрат, если у него есть хотя бы один прямой угол
• Диагонали равны, перпендикулярны, делятся пополам и являются биссектрисами; поэтому все углы между диагоналями и сторонами равны 45°

3. Дельтоид

Дельтоид — четырёхугольник, у которого смежные стороны попарно равны: $AB = AD$ и $BC = DC$.

• Диагонали пересекаются под прямым углом
• $\angle B = \angle D$, а $\angle A$ и $\angle C$ в общем случае не равны
• Одна из диагоналей (здесь $AC$) делит другую пополам: $BO = OD$

4. Трапеция

Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Параллельные стороны ($BC$ и $AD$) называются основаниями, остальные — боковыми сторонами.

Равнобедренная трапеция — боковые стороны равны. Прямоугольная — один из углов прямой.

5. Признаки равнобедренной трапеции

Трапеция равнобедренная, если выполняется одно из условий:

1. углы при одном основании равны: $\angle A = \angle D$
2. диагонали равны: $AC = BD$
3. около неё можно описать окружность

Почему третий признак верен. Четырёхугольник вписан в окружность, поэтому сумма противоположных углов равна 180°. Пусть $\angle A = \alpha$ и $\angle D = \beta$. Тогда $\angle C = 180° - \alpha$, $\angle B = 180° - \beta$. А в трапеции сумма односторонних углов при боковой стороне $CD$ равна 180°:

Отсюда $\alpha = \beta$: углы при основании равны, трапеция равнобедренная по первому признаку.

6. Биссектриса угла трапеции

Пусть $AM$ — биссектриса угла $A$, точка $M$ лежит на $BC$. Тогда $\angle BAM = \angle MAD = \alpha$. Углы $\angle BMA$ и $\angle MAD$ накрест лежащие при $BC \parallel AD$, поэтому $\angle BMA = \alpha$. В треугольнике $ABM$ два угла равны:

Биссектриса угла трапеции отсекает равнобедренный треугольник. То же верно для параллелограмма.

7. Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон: $AE = EB$, $CF = FD$.

• Она параллельна основаниям
• Её длина равна полусумме оснований

Площадь трапеции — полусумма оснований на высоту, то есть средняя линия на высоту:

8. Равнобедренная трапеция

• Углы при основаниях равны: $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle C$
• Диагонали равны: $AC = BD$

Полезное построение — две высоты $BH$ и $CK$. Четырёхугольник $HBCK$ — прямоугольник, поэтому $HK = BC$. Прямоугольные треугольники $ABH$ и $DCK$ равны (гипотенуза и острый угол), значит $AH = KD = x$:

Отрезок $AK$ — проекция диагонали $AC$ на большее основание — равен полусумме оснований, то есть средней линии.

9. Замечательное свойство трапеции

В любой трапеции четыре точки лежат на одной прямой:

• точка пересечения диагоналей $O$
• середина большего основания $N$ и середина меньшего основания $M$
• точка $P$, где пересекаются продолжения боковых сторон

10. Отрезок между серединами диагоналей

Пусть $P$ и $Q$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$. Тогда:

• $PQ \parallel AD \parallel BC$
• $PQ$ равен половине разности оснований

Доказательство. Проведём среднюю линию $MK$ ($M$ — середина $AB$, $K$ — середина $CD$). По теореме Фалеса параллельные прямые $MK$, $BC$, $AD$ отсекают на сторонах угла равные отрезки, значит $P$ — середина $AC$ лежит на $MK$; так же и $Q$. Поэтому $PQ$ лежит на средней линии и параллелен основаниям. Далее $MP$ — средняя линия треугольника $ABC$, $MP = \dfrac{1}{2}BC$; $QK = \dfrac{1}{2}BC$. Вся средняя линия:

11. Подобие треугольников при диагоналях трапеции

Диагонали трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) образуют два подобных треугольника: $\triangle AOD \sim \triangle COB$ — углы при $O$ вертикальные, а $\angle OAD = \angle OCB$ накрест лежащие. Отсюда

Кроме того, боковые треугольники равновелики: $S_{ABO} = S_{CDO}$. Действительно, $S_{ABD} = \tfrac{1}{2} AD \cdot h = S_{ACD}$ (общее основание и общая высота трапеции), а из обеих площадей вычитаем общий треугольник $AOD$.

12. Типичные задания из ОГЭ