← Маршрут ОГЭ
Тема 33 из 72 · Геометрия

Параллелограмм. Ромб

Свойства, признаки, площадь. Задания №17, №23

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗
Содержание 9 разделов
  1. Параллелограмм
  2. 1. Выпуклые и невыпуклые четырёхугольники
  3. 2. Виды четырёхугольников
  4. 3. Элементы четырёхугольника
  5. 4. Свойства параллелограмма
  6. 5. Признаки параллелограмма
  7. 6. Ромб
  8. 7. Биссектрисы параллелограмма
  9. 8. Площадь параллелограмма

Параллелограмм

Эта памятка — про четырёхугольники в целом и про параллелограмм с его частными случаями: ромбом и квадратом.

1. Выпуклые и невыпуклые четырёхугольники

Выпуклый четырёхугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, проведённой через его сторону. Проведите прямую через сторону $AB$: весь четырёхугольник окажется в одной полуплоскости. То же верно и для $BC$, $CD$, $AD$.

Невыпуклый четырёхугольник так не устроен: хотя бы для одной стороны его вершины лежат по обе стороны от прямой, проведённой через эту сторону.

A B C D выпуклый: весь лежит по одну сторону A B C D невыпуклый: вершины по обе стороны

2. Виды четырёхугольников

  • Параллелограмм — противоположные стороны попарно параллельны и равны.
  • Трапеция — две стороны параллельны, две другие не параллельны.
  • Параллелограмм с прямыми углами (по 90°) — прямоугольник; параллелограмм с равными сторонами — ромб; фигура, объединяющая оба свойства, — квадрат.
  • Трапеция бывает равнобедренной (боковые стороны равны) и прямоугольной (один из углов прямой).
Четырёхугольник Параллелограмм Трапеция Прямоугольник Ромб Равнобедренная Прямоуг. Квадрат

3. Элементы четырёхугольника

  • Противоположные стороны — не имеют общей вершины: $AB$ и $CD$.
  • Смежные стороны — имеют общую вершину: $AB$ и $BC$.
  • Противоположные углы — $\angle A$ и $\angle C$, $\angle B$ и $\angle D$.
  • Диагонали — отрезки, соединяющие противоположные вершины: $AC$ и $BD$, пересекаются в точке $O$.
  • Высота параллелограмма или трапеции — отрезок из вершины, падающий на противоположную сторону под прямым углом.
O A B C D A C диагонали AC и BD пересекаются в точке O
Важно запомнить!

Сумма всех углов четырёхугольника равна 360°. Это главное свойство часто встречается в задачах.

4. Свойства параллелограмма

  • Противоположные стороны равны и параллельны: $AB = CD$, $AB \parallel CD$; $BC = AD$, $BC \parallel AD$
  • Противоположные углы равны: $\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$
  • Соседние углы — односторонние при параллельных прямых, поэтому $\angle A + \angle B = 180°$
  • Диагонали точкой пересечения делятся пополам: $AO = OC$, $BO = OD$
O A B C D
Пример 1 (углы параллелограмма)

В параллелограмме $ABCD$ угол $A$ равен 50°. Найдите $\angle C$ и $\angle B$.

  1. Противоположные углы равны: $\angle C = \angle A = 50°$
  2. Соседние углы в сумме дают 180°: $\angle B = 180° - 50° = 130°$

Ответ: $\angle C = 50°$, $\angle B = 130°$

5. Признаки параллелограмма

Четырёхугольник — параллелограмм, если выполняется одно из условий:

  1. Противоположные стороны попарно равны: $AB = CD$ и $BC = AD$
  2. Две противоположные стороны равны и параллельны: $AB = CD$ и $AB \parallel CD$
  3. Диагонали делятся точкой пересечения пополам: $BO = OD$ и $AO = OC$
  4. Противоположные стороны попарно параллельны: $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$
A B C D 1. Противоположные стороны попарно равны A B C D 2. Две стороны равны и параллельны A B C D 3. Диагонали делятся пополам A B C D 4. Противоположные стороны попарно параллельны
Пример 2 (отношение сторон)

Две стороны параллелограмма относятся как 3 : 4, а периметр равен 70. Найдите большую сторону.

  1. Если дано отношение, вводим $x$: $AB = 3x$, $AD = 4x$ — отношение $\dfrac{3x}{4x} = \dfrac{3}{4}$ сохранилось
  2. Противоположные стороны равны: $BC = 4x$, $CD = 3x$
  3. Периметр: $2 \cdot (3x + 4x) = 70$, значит $7x = 35$, $x = 5$
  4. Большая сторона: $4x = 4 \cdot 5 = 20$

Ответ: 20 (меньшая сторона была бы $3 \cdot 5 = 15$)

6. Ромб

Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

  • Диагонали перпендикулярны: $AC \perp BD$
  • Диагонали — биссектрисы углов: $AC$ делит углы $A$ и $C$ пополам, $BD$ — углы $B$ и $D$
  • Ромб наследует все свойства параллелограмма

Признаки ромба. Параллелограмм — ромб, если:

  1. его диагонали перпендикулярны, или
  2. его диагональ является биссектрисой угла, или
  3. две смежные стороны равны
A B C D O
Важно!

Диагонали ромба перпендикулярны, но не равны. Равные диагонали — у прямоугольника.

Пример 3 (задание №17 ОГЭ)

В ромбе $ABCD$ угол $ABC$ равен 124°. Найдите угол $ACD$.

  1. Противоположные углы равны: $\angle ADC = \angle ABC = 124°$
  2. Соседние углы в сумме дают 180°: $\angle BCD = 180° - 124° = 56°$
  3. Диагональ $AC$ — биссектриса угла $C$: $\angle ACD = 56° : 2 = 28°$

Ответ: 28°

7. Биссектрисы параллелограмма

Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник

Пусть биссектриса угла $A$ пересекает $BC$ в точке $M$. Тогда $\angle BAM = \angle MAD$. Но $\angle BMA = \angle MAD$ как накрест лежащие при $BC \parallel AD$. Значит, в треугольнике $ABM$ два угла равны, и он равнобедренный:

$$AB = BM$$
A B C D M AB = BM

Биссектрисы двух соседних углов перпендикулярны

Биссектрисы углов $A$ и $D$ пересекаются в точке $K$. Пусть $\angle KAD = \alpha$, $\angle KDA = \beta$. Углы $A$ и $D$ односторонние, их сумма $2\alpha + 2\beta = 180°$, откуда $\alpha + \beta = 90°$. В треугольнике $AKD$:

$$\angle AKD = 180° - (\alpha + \beta) = 90°$$
A B C D K
Пример 4 (биссектрисы углов $A$ и $D$)

Биссектрисы углов $A$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $E$, лежащей на стороне $BC$. Меньшая сторона равна 5. Найдите большую сторону.

  1. Биссектриса $AE$ отсекает равнобедренный треугольник: $BE = AB = 5$
  2. Биссектриса $DE$ тоже: $EC = CD = 5$
  3. $BC = BE + EC = 5 + 5 = 10$

Ответ: 10

Пример 5 (биссектриса тупого угла)

Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 4 : 3, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону, если периметр равен 88.

  1. Пусть биссектриса из $B$ пересекает $AD$ в точке $L$: $AL = 4x$, $LD = 3x$, значит $AD = 7x$
  2. Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник $ABL$: $AB = AL = 4x$, поэтому и $CD = 4x$
  3. Периметр: $4x + 7x + 4x + 7x = 22x = 88$, откуда $x = 4$
  4. Большая сторона: $7x = 7 \cdot 4 = 28$

Ответ: 28

8. Площадь параллелограмма

$$S = a \cdot h_a$$
$$S = a \cdot b \cdot \sin\alpha$$
$$S = \tfrac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \sin\varphi$$
α a h b A B C D

Сторона и высота к ней; две соседние стороны и угол между ними; диагонали и угол между ними. Подробнее — в памятке «Сводная таблица формул площадей».

Пример 6 (высота к другой стороне)

Стороны параллелограмма равны 5 и 10. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 3. Найдите высоту, опущенную на большую сторону.

  1. $S = 5 \cdot 3 = 15$
  2. Та же площадь через большую сторону: $10 \cdot h = 15$
  3. $h = 15 : 10 = 1,5$

Ответ: 1,5

← 32. Подобие треугольников