← Маршрут ОГЭ
Тема 32 из 72 · Геометрия

Подобие треугольников

Признаки подобия, пропорции. Задания №23, №25

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗
Содержание 9 разделов
  1. Подобие треугольников
  2. 1. Теорема Фалеса
  3. 2. Теорема о пропорциональных отрезках
  4. 3. Признаки подобия треугольников
  5. 4. Коэффициент подобия
  6. 5. Средняя линия и подобие
  7. 6. Площади подобных треугольников
  8. 7. Подобие в прямоугольном треугольнике
  9. 8. Типичные задания из ОГЭ

Подобие треугольников

Подобные треугольники — это два треугольника, один из которых является уменьшенной или увеличенной копией другого. Подобие — ключевой инструмент задач №23 и №25: если в задаче есть параллельные прямые, средняя линия или общие углы, ищите подобные треугольники.

1. Теорема Фалеса

Пусть несколько параллельных прямых пересекают стороны угла. Если на одной стороне угла они отсекают равные отрезки ($AB = BC = CD$), то и на другой стороне они отсекают равные отрезки ($A_1B_1 = B_1C_1 = C_1D_1$).

O A A₁ B B₁ C C₁ D D₁

Обратная теорема: если прямые, пересекающие угол, отсекают равные отрезки на обеих его сторонах, то эти прямые параллельны.

2. Теорема о пропорциональных отрезках

Параллельные прямые $a \parallel b \parallel c$ отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки — отношение сохраняется:

$$\frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}$$
O A A₁ B B₁ C C₁

Обратная теорема: если прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки, то эти прямые параллельны.

3. Признаки подобия треугольников

ПризнакЧто должно выполняться
По двум угламДва угла одного треугольника равны двум углам другого
По двум сторонам и углуДве стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы между ними равны
По трём сторонамТри стороны одного пропорциональны трём сторонам другого
A C B A₁ C₁ B₁
$$\frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1}, \quad \text{угол между ними равен}$$
$$\frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1}$$
Пример 1 (подобие по двум сторонам и углу)

В треугольниках $a = 8$, $b = 6$ и $a_1 = 4$, $b_1 = 3$; углы между этими сторонами равны. Подобны ли треугольники?

  1. $\dfrac{a}{a_1} = \dfrac{8}{4} = 2$
  2. $\dfrac{b}{b_1} = \dfrac{6}{3} = 2$
  3. Отношения равны, угол между сторонами равен — по второму признаку треугольники подобны

Ответ: да, подобны

4. Коэффициент подобия

Возьмём треугольник со сторонами 3, 4, 5 и его увеличенную копию со сторонами 6, 8, 10:

$$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$$
$$\frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$
4 3 5 8 6 10 k = 1/2

Общее отношение $\dfrac{1}{2}$ — коэффициент подобия. Если делить стороны второго треугольника на стороны первого, получим $2$. Он показывает, во сколько раз стороны одного треугольника больше или меньше сторон другого.

Важно!

Подобие записывается с соблюдением порядка: $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$. Дроби составляйте так: наверху — стороны одного треугольника, внизу — сходственные стороны другого. Не перепутайте порядок: «большой делится на маленький» везде.

Как найти сходственные стороны. Сходственные стороны лежат против равных углов. Если $\angle 3 = \angle 4$, то сторона против угла 3 в одном треугольнике соответствует стороне против угла 4 в другом. Нельзя делить стороны произвольно — только соответственные.

Пример 2 (подобие по двум углам)

В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$: $\angle 1 = \angle 2$ и $\angle 3 = \angle 4$ (углы при вершинах $A$ и $C$ равны углам при $A_1$ и $C_1$). Запишите подобие и равенство отношений сторон.

  1. Две пары равных углов — по первому признаку $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$
  2. Сходственные стороны лежат против равных углов
  3. $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$

5. Средняя линия и подобие

Средняя линия отсекает от треугольника подобный ему треугольник. Пусть $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$. Тогда $MN \parallel AC$, и:

  1. При параллельных прямых и секущей $AB$ углы $\angle 1 = \angle 2$ — они соответственные
  2. При секущей $BC$ углы $\angle 3 = \angle 4$ — тоже соответственные
  3. Две пары равных углов: по первому признаку $\triangle ABC \sim \triangle MBN$
1 2 3 4 A C B M N

Коэффициент подобия: $\dfrac{AB}{MB} = \dfrac{2}{1}$ и $\dfrac{BC}{BN} = \dfrac{2}{1}$, то есть $k = 2$.

6. Площади подобных треугольников

Отношение периметров равно коэффициенту подобия $k$, а отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{P_1}{P_2} = k$$
$$\frac{S_1}{S_2} = k^2$$

Для средней линии: $\dfrac{S_{ABC}}{S_{MBN}} = 2^2 = 4$ — так выходит ровно четверть. Если вы знаете, что треугольники подобны, площадь одного из них и коэффициент подобия, площадь другого находится сразу.

Пример 3 (отношение периметров)

Треугольники подобны с коэффициентом $k = 2$. Периметр большего равен 30. Найдите периметр меньшего.

  1. Периметры относятся как $k$: $\dfrac{30}{P_2} = 2$
  2. $P_2 = 15$

Ответ: 15

Пример 4 (отношение площадей)

Треугольники подобны с коэффициентом подобия 3. Площадь меньшего равна 10. Найдите площадь большего.

  1. Площади относятся как $k^2 = 3^2 = 9$
  2. $S = 9 \cdot 10 = 90$

Ответ: 90

7. Подобие в прямоугольном треугольнике

Высота $CH$, проведённая из прямого угла, делит треугольник на два треугольника, подобных исходному: $\triangle AHC \sim \triangle ABC \sim \triangle CHB$. Отсюда $CH^2 = AH \cdot HB$ (подробнее — в памятке «Прямоугольный треугольник»).

8. Типичные задания из ОГЭ

Пример 5 (задание №23 ОГЭ)

В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $N$ так, что $MN \parallel AC$, $BM : MA = 1 : 2$. Площадь треугольника $ABC$ равна 90. Найдите площадь треугольника $MBN$.

  1. $MN \parallel AC$, значит $\triangle MBN \sim \triangle ABC$ (по двум углам)
  2. $BM : BA = 1 : 3$, коэффициент подобия $k = \dfrac{1}{3}$
  3. $\dfrac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = k^2 = \dfrac{1}{9}$
  4. $S_{MBN} = 90 : 9 = 10$

Ответ: 10

← 31. Хорды, касательные, секущие