Тема 35 из 72 · Геометрия

Площади многоугольников

Сводная таблица формул площадей. Задания №17, №23

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Сводная таблица формул площадей

Все формулы площади четырёхугольников — в одном месте, плюс связи между площадями, которые часто используются в задачах №23.

1. Произвольный выпуклый четырёхугольник

Площадь равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними:

$$S = \tfrac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \sin\varphi$$

Угол между диагоналями можно брать любой из двух смежных: синусы смежных углов равны.

2. Параллелограмм

$$S = a \cdot h_a$$

$$S = a \cdot b \cdot \sin\alpha$$

$$S = \tfrac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \sin\varphi$$

Основание на высоту, произведение соседних сторон на синус угла между ними, диагонали и синус угла между ними.

Полезное свойство: диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

Пример 1 (площадь и высоты)

Стороны параллелограмма равны 5 и 10. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 3. Найдите высоту, опущенную на большую сторону.

$S = 5 \cdot 3 = 15$
$10 \cdot h = 15$, значит $h = 1,5$

Ответ: 1,5

Пример 2 (трапеция внутри параллелограмма)

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна 132. Точка $G$ — середина стороны $CD$. Найдите площадь трапеции $ABGD$.

Пусть $K$ — середина $AB$. Отрезок $KG$ разбивает параллелограмм на два равных параллелограмма $AKGD$ и $KBCG$, а диагонали $AG$ и $BG$ делят каждый из них на два равных треугольника: $AKG$, $AGD$, $KBG$, $BCG$
Всего получилось 4 равных треугольника: $132 : 4 = 33$
Трапеция $ABGD$ состоит из трёх таких треугольников ($AKG$, $AGD$, $KBG$): $3 \cdot 33 = 99$

Ответ: 99

3. Прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция

Фигура	Формулы площади
Прямоугольник	$S = a \cdot b$; через диагонали (они равны): $S = \tfrac{1}{2} d^2 \sin\varphi$
Ромб	$S = a \cdot h$; $S = a^2 \sin\alpha$; $S = \tfrac{1}{2} d_1 d_2$ (угол между диагоналями 90°, $\sin 90° = 1$)
Квадрат	$S = a^2$; через диагональ: $S = \dfrac{d^2}{2}$
Трапеция	$S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h = m \cdot h$, где $m$ — средняя линия

Откуда $S = \dfrac{d^2}{2}$ для квадрата. Диагональ по теореме Пифагора $d = a\sqrt{2}$, значит $d^2 = 2a^2$, а $a^2 = \dfrac{d^2}{2}$.

Пример 3 (площадь ромба)

Диагонали ромба равны 6 и 8. Найдите его площадь.

$S = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2} = \dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24$

Ответ: 24

4. Описанный и вписанный четырёхугольники

Описанный (в него вписана окружность)

$$S = p \cdot r$$

$p$ — полупериметр (сумма всех сторон, делённая пополам), $r$ — радиус вписанной окружности. Это то же, что у треугольника.

Вписанный (около него описана окружность)

Если известны все четыре стороны, а про углы ничего не сказано, применяют формулу Брахмагупты:

$$S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$$

Она похожа на формулу Герона, но без отдельного множителя $p$ перед скобками: здесь только произведение скобок.

Пример 4 (формула Брахмагупты)

Вписанный четырёхугольник — прямоугольник со сторонами 3, 4, 3, 4. Найдите его площадь по формуле Брахмагупты.

$p = \dfrac{3 + 4 + 3 + 4}{2} = 7$
$S = \sqrt{(7-3)(7-4)(7-3)(7-4)} = \sqrt{4 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{144} = 12$

Ответ: 12 (проверка: $3 \cdot 4 = 12$)

5. Четыре треугольника при диагоналях

Диагонали произвольного выпуклого четырёхугольника $ABCD$ делят его на четыре треугольника с площадями $S_1, S_2, S_3, S_4$ (по порядку обхода). Тогда произведения площадей противоположных треугольников равны:

$$S_1 \cdot S_3 = S_2 \cdot S_4$$

Доказательство. Пусть $AO = a$, $OC = b$, высоты из $B$ и $D$ к диагонали $AC$ — $h_1$ и $h_2$. Тогда

$$S_1 = \tfrac{1}{2} a h_1, \quad S_2 = \tfrac{1}{2} b h_1, \quad S_3 = \tfrac{1}{2} b h_2, \quad S_4 = \tfrac{1}{2} a h_2$$

Перемножим: $S_1 S_3 = \tfrac{1}{4}\, a b\, h_1 h_2$ и $S_2 S_4 = \tfrac{1}{4}\, a b\, h_1 h_2$. Они равны.

6. Связи между площадями

Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника
Средняя линия треугольника отсекает $\tfrac{1}{4}$ площади
Подобные фигуры: отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия: $\dfrac{S_1}{S_2} = k^2$

Пример 5 (задание №23 ОГЭ)

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна 112. Точка $E$ — середина стороны $AB$. Найдите площадь треугольника $CBE$.

Диагональ $AC$ делит параллелограмм пополам: $S_{\triangle ABC} = 112 : 2 = 56$
$CE$ — медиана в треугольнике $ABC$, она делит его на два равновеликих: $S_{\triangle CBE} = 56 : 2 = 28$

Ответ: 28

7. Шпаргалка по площадям

Фигура	Формула
Треугольник	$S = \dfrac{ah}{2} = \dfrac{ab\sin C}{2} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
Параллелограмм	$S = ah = ab\sin\alpha$
Ромб	$S = \dfrac{d_1 d_2}{2}$
Прямоугольник	$S = ab$
Квадрат	$S = a^2 = \dfrac{d^2}{2}$
Трапеция	$S = \dfrac{(a+b)h}{2}$
Любой выпуклый	$S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 \sin\varphi$
Описанный	$S = pr$
Вписанный	формула Брахмагупты
Круг	$S = \pi R^2$

← 34. Прямоугольник. Квадрат. Трапеция 36. Фигуры на клетчатой плоскости →