← Маршрут ОГЭ
Тема 27 из 72 · Геометрия

Прямоугольный треугольник. Тригонометрия

Теорема Пифагора, sin/cos/tg. Задания №15, №23

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Прямоугольный треугольник. Тригонометрия

Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого один из углов прямой (90°). У его сторон есть особые названия:

  • гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла; самая большая сторона, потому что против самого большого угла лежит самая большая сторона;
  • катеты — две остальные стороны, прилежащие к прямому углу.
катет катет гипотенуза A C B 90°
Важно запомнить!

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°: из 180° (сумма всех углов) вычитаем прямой угол.

1. Теорема Пифагора

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

Здесь $c$ — гипотенуза, $a$ и $b$ — катеты.

c² b² a² A C B c² = a² + b²
Пример 1 (найти катет)

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 5, один катет равен 4. Найдите второй катет.

  1. $c^2 = a^2 + b^2$, то есть $5^2 = 4^2 + b^2$
  2. $b^2 = 25 - 16 = 9$
  3. $b = 3$ (длина не бывает отрицательной)

Ответ: 3

Пример 2 (найти гипотенузу)

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите гипотенузу.

  1. $c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
  2. $c = 10$

Ответ: 10

2. Пифагоровы тройки

ТройкаПроверка
$(3, 4, 5)$$9 + 16 = 25$
$(5, 12, 13)$$25 + 144 = 169$
$(8, 15, 17)$$64 + 225 = 289$
$(7, 24, 25)$$49 + 576 = 625$
$(6, 8, 10)$$36 + 64 = 100$

Запомните основные тройки: они встречаются в задачах постоянно и избавляют от вычислений.

3. Медиана к гипотенузе

Пусть $AB$ — гипотенуза, $M$ — её середина. Тогда медиана, проведённая из прямого угла, равна половине гипотенузы:

$$CM = AM = MB = \frac{AB}{2}$$
A B C M
Пример 3 (медиана к гипотенузе)

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 26. Найдите медиану, проведённую к гипотенузе.

  1. Медиана из прямого угла равна половине гипотенузы
  2. $m = 26 : 2 = 13$

Ответ: 13

4. Высота, проведённая из прямого угла

Проведём высоту $CH$ из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. Пусть $\angle A = 30°$, тогда $\angle B = 60°$ (острые углы в сумме дают 90°).

A C B H

Высота делит треугольник на два меньших, и каждый из них подобен большому: у них по две пары равных углов (30° и 60°).

  • $\triangle AHC \sim \triangle ABC$
  • $\triangle CHB \sim \triangle ABC$
  • $\triangle AHC \sim \triangle CHB$

Из подобия $\triangle AHC \sim \triangle CHB$ стороны пропорциональны. Сторона против угла 30° в одном треугольнике — $HC$, в другом — $HB$; сторона против угла 60° — $AH$ и $HC$:

$$\frac{HC}{HB} = \frac{AH}{HC} \;\Rightarrow\; HC^2 = AH \cdot HB \;\Rightarrow\; HC = \sqrt{AH \cdot HB}$$

Высота, проведённая из прямого угла, равна корню из произведения отрезков, на которые она делит гипотенузу. Из этих подобий выводится ещё много соотношений — это самое полезное.

Пример 4 (высота к гипотенузе)

В прямоугольном треугольнике $ABC$ высота $CH$, проведённая из прямого угла, делит гипотенузу на отрезки $AH = 4$ и $HB = 9$. Найдите $CH$.

  1. $CH^2 = AH \cdot HB = 4 \cdot 9 = 36$
  2. $CH = 6$

Ответ: 6

5. Тригонометрия острого угла

Подробный разбор тригонометрии с нуля — в отдельном видео маршрута. Здесь — главное для прямоугольного треугольника.

$$\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$$
$$\cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$$
$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$$
α прилежащий катет противолежащий катет гипотенуза A C B
$\alpha$$\sin \alpha$$\cos \alpha$$\operatorname{tg} \alpha$
$30°$$\dfrac{1}{2}$$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$45°$$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$1$
$60°$$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$\dfrac{1}{2}$$\sqrt{3}$
Пример 5 (табличные значения)

В прямоугольном треугольнике угол равен 30°, гипотенуза равна 10. Найдите противолежащий катет.

  1. $\sin 30° = \dfrac{\text{катет}}{\text{гипотенуза}} = \dfrac{x}{10}$
  2. $\sin 30° = \dfrac{1}{2}$, значит $x = 10 \cdot \dfrac{1}{2} = 5$

Ответ: 5

6. Типичные задания из ОГЭ

Пример 6 (задание №15 ОГЭ)

В прямоугольном треугольнике катеты равны 9 и 12. Найдите медиану, проведённую к гипотенузе.

  1. Гипотенуза: $c = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{225} = 15$
  2. Медиана к гипотенузе равна её половине: $15 : 2 = 7,5$

Ответ: 7,5

Пример 7 (задание №19 ОГЭ)

Какое из утверждений верно? 1) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 180°. 2) Гипотенуза — самая длинная сторона прямоугольного треугольника. 3) Медиана к гипотенузе равна гипотенузе.

  1. Сумма острых углов равна 90° — неверно
  2. Гипотенуза лежит против самого большого угла (90°) — верно
  3. Медиана к гипотенузе равна её половине — неверно

Ответ: 2

← 26. Треугольники. Признаки равенства