← Маршрут ОГЭ
Тема 26 из 72 · Геометрия

Треугольники. Признаки равенства

Виды, свойства, три признака равенства. Задания №15, №19

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗
Содержание 10 разделов
  1. Треугольники. Признаки равенства
  2. 1. Виды треугольников
  3. 2. Четыре линии в треугольнике
  4. 3. Сумма углов. Неравенство треугольника
  5. 4. Соотношение сторон и углов
  6. 5. Внешний угол треугольника
  7. 6. Признаки равенства треугольников
  8. 7. Равнобедренный треугольник
  9. 8. Равносторонний треугольник
  10. 9. Типичные задания из ОГЭ

Треугольники. Признаки равенства

Треугольник — геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, соединённых отрезками. Эта памятка — про виды треугольников, их особые отрезки и признаки равенства.

1. Виды треугольников

По углам:

ВидОпределение
ОстроугольныйВсе три угла острые (от 0° до 90°)
ТупоугольныйОдин угол тупой (от 90° до 180°)
ПрямоугольныйОдин угол прямой, равен 90°
Остроугольный — все углы острые >90° Тупоугольный — один угол тупой Прямоугольный — один угол 90°

По сторонам:

ВидОпределение
РазностороннийВсе стороны разной длины
РавнобедренныйДве стороны равны между собой
РавностороннийВсе три стороны равны
Разносторонний — все стороны разные Равнобедренный — две стороны равны Равносторонний — все стороны равны
Пример 1 (определение вида треугольника)

В треугольнике стороны равны 5, 5 и 8. Определите вид треугольника по сторонам и по углам.

  1. По сторонам: две стороны равны (5 и 5) — равнобедренный
  2. Против большей стороны (8) лежит больший угол
  3. Проверим: $5^2 + 5^2 = 50$, а $8^2 = 64$, $64 > 50$ — угол при вершине тупой

Ответ: равнобедренный тупоугольный

2. Четыре линии в треугольнике

В треугольнике проводят четыре особых отрезка. У каждого своя особенность.

ОтрезокЧто это
МедианаВыходит из вершины и падает на середину противоположной стороны, делит её на две равные части
БиссектрисаВыходит из вершины и делит угол пополам
ВысотаВыходит из вершины и падает на противоположную сторону (или её продолжение) под прямым углом
Средняя линияСоединяет середины двух сторон треугольника
A C B D Медиана — к середине стороны A C B D Биссектриса — делит угол пополам A C B H Высота — под прямым углом

Свойство медианы

Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади. У них равные основания ($AD = DB$) и одна общая высота $CH$:

$$S_{ADC} = \tfrac{1}{2} \cdot AD \cdot CH = \tfrac{1}{2} \cdot DB \cdot CH = S_{CDB}$$
A B C D H h

Свойства средней линии

Пусть $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$. Тогда средняя линия $MN$:

  • параллельна основанию: $MN \parallel AC$
  • равна его половине: $MN = \dfrac{1}{2} AC$
  • отсекает ровно четверть площади треугольника
A C B M N ¼ S ¾ S

Почему четверть. Запишем площади через синус общего угла $B = \alpha$:

$$S_{ABC} = \tfrac12 \cdot AB \cdot BC \cdot \sin\alpha$$
$$S_{MBN} = \tfrac12 \cdot MB \cdot BN \cdot \sin\alpha$$

Разделим одну площадь на другую: $\tfrac12$ и $\sin\alpha$ сокращаются. $M$ и $N$ — середины, поэтому $AB = 2\,MB$ и $BC = 2\,BN$:

$$\frac{S_{ABC}}{S_{MBN}} = \frac{AB}{MB} \cdot \frac{BC}{BN} = 2 \cdot 2 = 4$$

Значит, $S_{MBN} = \dfrac{1}{4} S_{ABC}$, а четырёхугольник $AMNC$ занимает остальные $\dfrac{3}{4}$.

Пример 2 (средняя линия и площадь)

В треугольнике $ABC$ отмечены середины $M$ и $N$ сторон $BC$ и $AC$ соответственно. Площадь треугольника $CNM$ равна 76. Найдите площадь четырёхугольника $ABMN$.

  1. $MN$ — средняя линия, она отсекает четверть: $S_{ABC} = 4 \cdot S_{CNM}$
  2. $S_{ABC} = 4 \cdot 76 = 304$
  3. Четырёхугольник $ABMN$ — это весь треугольник без маленького: $304 - 76 = 228$

Ответ: 228

3. Сумма углов. Неравенство треугольника

Сумма углов любого треугольника равна 180°:

$$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$$

Неравенство треугольника. Обозначим стороны: $AB = c$, $BC = a$, $AC = b$. Сумма любых двух сторон больше третьей:

$$a + b > c$$
$$b + c > a$$
$$a + c > b$$

Треугольник существует, только если выполняются все три неравенства. Хотя бы одно нарушено — такого треугольника не построить.

Пример 3 (существует ли треугольник)

Существует ли треугольник со сторонами 2, 3 и 6?

  1. Проверяем две меньшие стороны: $2 + 3 = 5$
  2. $5 < 6$, неравенство нарушено

Ответ: нет, не существует

4. Соотношение сторон и углов

  • Напротив большего угла лежит большая сторона
  • Напротив среднего угла — средняя по длине сторона
  • Напротив меньшего угла — меньшая сторона
30° 80° 70° A C B
Пример 4 (сравнение сторон и углов)

В треугольнике $ABC$ углы: $\angle A = 30°$, $\angle B = 80°$, $\angle C = 70°$. Расположите стороны в порядке возрастания.

  1. Против $\angle A = 30°$ лежит сторона $BC$ — самая маленькая
  2. Против $\angle C = 70°$ лежит $AB$ — средняя
  3. Против $\angle B = 80°$ лежит $AC$ — самая большая

Ответ: $BC < AB < AC$

5. Внешний угол треугольника

Внешний угол получается, если продолжить одну из сторон треугольника. Он смежный с внутренним углом, поэтому в сумме с ним даёт 180°. Если $\angle ACB = 30°$, то внешний угол при вершине $C$:

$$180° - 30° = 150°$$

Есть и второе свойство. Из $\angle A + \angle B + \angle C = 180°$ следует $\angle A + \angle B = 180° - 30° = 150°$ — то же число. Значит, внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$$\angle BCE = \angle A + \angle B$$
30° 150° α β A C B E
Пример 5 (внешний угол)

В треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $C$ равен 120°. Найдите сумму углов $A$ и $B$.

  1. Внешний угол равен сумме двух несмежных внутренних углов
  2. $\angle A + \angle B = 120°$

Ответ: 120°

6. Признаки равенства треугольников

Два треугольника равны, если выполняется один из трёх признаков.

ПризнакЧто должно быть равно
Первый (СУС)Две стороны и угол между ними
Второй (УСУ)Сторона и два прилежащих к ней угла
Третий (ССС)Три стороны
Первый признак: СУС Второй признак: УСУ Третий признак: ССС
Важно запомнить!

Если треугольники равны, то равны все их элементы: все углы одного — углам другого, все стороны — сторонам.

Пример 6 (признак СУС)

В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$: $AB = A_1B_1 = 5$, $AC = A_1C_1 = 7$, $\angle A = \angle A_1 = 60°$. Равны ли треугольники?

  1. Две стороны равны ($AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$)
  2. Угол между этими сторонами тоже равен
  3. По первому признаку (СУС) треугольники равны

Ответ: да, равны по СУС

7. Равнобедренный треугольник

Равные стороны $AB = BC$ называются боковыми, третья сторона $AC$ — основанием.

  • Углы при основании равны: $\angle A = \angle C$
  • Высота $BH$, проведённая к основанию, является ещё и медианой и биссектрисой: $AH = HC$ и $\angle ABH = \angle HBC$
  • Это работает в любую сторону: если $BH$ — медиана, то она и биссектриса, и высота; если $BH$ — биссектриса, то она и медиана, и высота
A C B H основание AC
Пример 7 (равнобедренный треугольник)

В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) угол при вершине $B$ равен 40°. Найдите углы при основании.

  1. Сумма углов треугольника 180°: $\angle A + \angle C = 180° - 40° = 140°$
  2. Углы при основании равны: $\angle A = \angle C = 140° : 2 = 70°$

Ответ: 70° и 70°

8. Равносторонний треугольник

У равностороннего треугольника все стороны равны и все углы равны. Пусть каждый угол $x$:

$$x + x + x = 180° \;\Rightarrow\; 3x = 180° \;\Rightarrow\; x = 60°$$
60° 60° 60° A C B

Все углы равностороннего треугольника — по 60°. Высота в нём — одновременно медиана и биссектриса: равносторонний треугольник перенимает все свойства равнобедренного.

9. Типичные задания из ОГЭ

Пример 8 (задание №15 ОГЭ)

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен 50°, угол $B$ равен 80°. Найдите внешний угол при вершине $C$.

  1. $\angle C = 180° - 50° - 80° = 50°$
  2. Внешний угол при $C$: $180° - 50° = 130°$

Ответ: 130°

Пример 9 (задание №19 ОГЭ)

Какое из утверждений верно? 1) В равнобедренном треугольнике все углы равны. 2) Если две стороны и угол одного треугольника равны двум сторонам и углу другого, то треугольники равны. 3) Сумма углов треугольника равна 180°.

  1. Все углы равны только в равностороннем треугольнике — неверно
  2. Угол должен быть именно между равными сторонами — неверно
  3. Сумма углов треугольника 180° — верно

Ответ: 3

← 25. Углы. Виды. Свойства