Тема 25 из 72 · Геометрия

Углы. Виды. Свойства

Смежные, вертикальные, при параллельных прямых. Задания №15, №19

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Углы. Виды. Свойства

Планиметрия — раздел геометрии о плоских фигурах: треугольниках, четырёхугольниках, окружностях. Начинаем с углов: они нужны в каждой задаче.

Важно запомнить!

Развёрнутый угол равен 180°, прямой — 90°. Острый угол — от 0° до 90°, тупой — от 90° до 180°.

1. Смежные углы

Проведём прямую, отметим на ней точку $B$ и выпустим из неё луч $BD$. Получатся два угла, $ABD$ и $DBC$. Вместе они образуют развёрнутый угол — это смежные углы.

$$\angle ABD + \angle DBC = 180°$$

Пример 1 (смежные углы)

Один из смежных углов равен 75°. Найдите второй угол.

Смежные углы в сумме дают 180°
Второй угол: $180° - 75° = 105°$

Ответ: 105°

2. Вертикальные углы

Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых — получается «крестик». Углы, лежащие друг напротив друга, равны.

$$\angle 1 = \angle 3, \qquad \angle 2 = \angle 4$$

Соседние углы при этом смежные: $\angle 3 + \angle 4 = 180°$ и $\angle 1 + \angle 2 = 180°$.

Пример 2 (вертикальные углы)

При пересечении двух прямых один из углов равен 40°. Найдите остальные углы.

Вертикальный ему угол тоже 40°
Смежные с ними: $180° - 40° = 140°$
Четвёртый угол — вертикальный к 140°, значит тоже 140°

Ответ: 40°, 140°, 40°, 140°

3. Параллельные прямые и секущая

Параллельные прямые — это прямые, которые никогда не пересекаются: у них нет общей точки. Секущая — прямая, которая пересекает обе параллельные прямые. Пусть $a \parallel b$, а $c$ — секущая. Получается восемь углов:

Смежные и вертикальные углы здесь тоже есть: $\angle 5$ и $\angle 6$ смежные (в сумме 180°), $\angle 8$ и $\angle 6$ вертикальные (равны). А ещё появляются три особых вида углов.

Название	Как найти на рисунке	Примеры	Свойство
Накрест лежащие	Оба внутри полосы между прямыми, по разные стороны от секущей: один слева, другой справа	$\angle 4$ и $\angle 6$; $\angle 3$ и $\angle 5$	равны
Соответственные	По одну сторону от секущей; один внутри полосы, другой снаружи	$\angle 6$ и $\angle 2$; $\angle 1$ и $\angle 5$; $\angle 3$ и $\angle 7$; $\angle 4$ и $\angle 8$	равны
Односторонние	Оба внутри полосы и по одну сторону от секущей	$\angle 4$ и $\angle 5$; $\angle 3$ и $\angle 6$	сумма $180°$

Пример 3 (накрест лежащие углы)

Прямые $a \parallel b$, $c$ — секущая, $\angle 4 = 55°$. Найдите $\angle 6$.

$\angle 4$ и $\angle 6$ — накрест лежащие
При параллельных прямых они равны

Ответ: 55°

Пример 4 (односторонние углы)

Прямые $a \parallel b$, $\angle 4 = 110°$. Найдите $\angle 5$.

$\angle 4$ и $\angle 5$ — односторонние
Они лежат внутри полосы по одну сторону от секущей, их сумма равна 180°
$\angle 5 = 180° - 110° = 70°$

Ответ: 70°

Пример 5 (соответственные углы)

Прямые $a \parallel b$, $\angle 2 = 65°$. Найдите $\angle 6$ и $\angle 8$.

$\angle 6$ и $\angle 2$ — соответственные, значит $\angle 6 = 65°$
$\angle 8$ и $\angle 6$ — вертикальные, значит $\angle 8 = 65°$

Ответ: 65° и 65°

4. Обратные утверждения: признаки параллельности

Работает и в обратную сторону. Прямые $a$ и $b$ параллельны, если при секущей:

накрест лежащие углы равны, или
соответственные углы равны, или
односторонние углы в сумме дают 180°

Пример 6 (признак параллельности)

При пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы оказались равными 45° и 45°. Параллельны ли прямые?

Накрест лежащие углы равны
Это признак параллельности

Ответ: да, параллельны

5. Углы в треугольнике

Сумма углов треугольника, внешний угол и неравенство треугольника разобраны в памятке «Треугольники. Признаки равенства».

6. Типичные задания из ОГЭ

Пример 7 (задание №15 ОГЭ)

Прямые $a \parallel b$, $c$ — секущая, $\angle 1 = 50°$. Найдите $\angle 8$.

$\angle 1$ и $\angle 5$ — соответственные, значит $\angle 5 = 50°$
$\angle 5$ и $\angle 8$ — смежные: $\angle 8 = 180° - 50° = 130°$

Ответ: 130°

Пример 8 (задание №19 ОГЭ)

Какое из утверждений верно? 1) Смежные углы равны. 2) Вертикальные углы равны. 3) Односторонние углы при параллельных прямых равны.

Смежные углы в сумме дают 180°, а не равны — неверно
Вертикальные углы равны — верно
Односторонние углы при параллельных прямых в сумме дают 180° — неверно

Ответ: 2

7. Сводная таблица свойств углов

Тип углов	Свойство
Смежные	$\alpha + \beta = 180°$
Вертикальные	$\alpha = \beta$
Накрест лежащие (при $\parallel$)	$\alpha = \beta$
Соответственные (при $\parallel$)	$\alpha = \beta$
Односторонние (при $\parallel$)	$\alpha + \beta = 180°$

← 24. Текстовые задачи: проценты, смеси, по к… 26. Треугольники. Признаки равенства →