Тема 28 из 72 · Геометрия

Площадь треугольника. Теорема синусов и косинусов

Формулы площади, решение произвольного треугольника. Задания №15, №23

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Площадь треугольника. Теорема синусов и косинусов

Три главных инструмента для вычислений в произвольном треугольнике. Обозначения: стороны $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$ и противолежащие им углы $A$, $B$, $C$.

1. Теорема синусов

Для любого треугольника отношение стороны к синусу противолежащего угла одно и то же — и равно двум радиусам описанной окружности:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

Пример 1 (равносторонний треугольник)

Сторона равностороннего треугольника равна $2\sqrt{3}$. Найдите радиус описанной около него окружности.

Все углы равностороннего треугольника по 60°
Теорема синусов: $\dfrac{2\sqrt{3}}{\sin 60°} = 2R$
$R = \dfrac{2\sqrt{3}}{2 \cdot \sin 60°} = \dfrac{2\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$

Ответ: 2

Пример 2 (угол 135°)

В треугольнике $ABC$ сторона $AB = 3\sqrt{2}$, угол $C = 135°$. Найдите радиус описанной окружности.

Сторона $AB$ лежит против угла $C$: $\dfrac{AB}{\sin C} = 2R$
$R = \dfrac{AB}{2 \sin C} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2 \cdot \sin 135°}$
$\sin 135° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, поэтому $R = \dfrac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3$

Ответ: 3

2. Теорема косинусов

Квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Для стороны $a$, лежащей против угла $A$:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A$$

Похоже на теорему Пифагора, только добавляется ещё одно слагаемое. Для $A = 90°$ косинус равен нулю — получаем саму теорему Пифагора.

Пример 3 (найти сторону)

В треугольнике $\angle A = 60°$, $c = 2$, $b = 3$. Найдите сторону $a$.

$a^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos 60°$
$\cos 60° = \dfrac{1}{2}$, поэтому $a^2 = 4 + 9 - 12 \cdot \dfrac{1}{2} = 13 - 6 = 7$
$a = \sqrt{7}$ (длина стороны не может быть отрицательной)

Ответ: $\sqrt{7}$

3. Площадь треугольника: все формулы

Через основание и высоту

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$$

Высота должна быть проведена именно к той стороне, которую берёте. Нельзя умножать высоту $BH$ (проведённую к $AC$) на сторону $AB$ — это ошибка. Хотите использовать $AB$ — проведите высоту к $AB$.

Через две стороны и угол между ними

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$$

Угол обязательно должен лежать между этими сторонами.

Пример 4 (две стороны и угол)

Две стороны треугольника равны 4 и 3, угол между ними 30°. Найдите площадь.

$S = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot \sin 30°$
$\sin 30° = \dfrac{1}{2}$, поэтому $S = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot \dfrac{1}{2} = 3$

Ответ: 3

Формула Герона (известны все три стороны)

$$S = \sqrt{p\,(p-a)(p-b)(p-c)}$$

$$p = \frac{a+b+c}{2}$$

$p$ — полупериметр, то есть половина суммы всех сторон.

Пример 5 (формула Герона)

Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найдите площадь.

Полупериметр: $p = \dfrac{13 + 14 + 15}{2} = 21$
$S = \sqrt{21 \cdot (21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}$
$21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 7056 = 84^2$

Ответ: 84

Прямоугольный треугольник

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$$

Половина произведения катетов. Это частный случай формулы с синусом: угол между катетами 90°, а $\sin 90° = 1$. Для катетов 4 и 3: $S = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$.

Через радиус вписанной окружности

$$S = p \cdot r$$

$$r = \frac{S}{p}$$

Через радиус описанной окружности

$$S = \frac{abc}{4R}$$

$$R = \frac{abc}{4S}$$

Если известны все три стороны, площадь находится по формуле Герона, а затем по этой формуле — радиус описанной окружности: произведение сторон делим на $4S$.

4. Какую формулу выбрать

Что известно	Формула
Сторона и высота к ней	$S = \dfrac{1}{2} a h_a$
Две стороны и угол между ними	$S = \dfrac{1}{2} ab \sin C$
Три стороны	формула Герона
Катеты прямоугольного треугольника	$S = \dfrac{1}{2} ab$
Радиус вписанной окружности	$S = p r$
Радиус описанной окружности	$S = \dfrac{abc}{4R}$
Две стороны и угол между ними — найти третью сторону	теорема косинусов
Сторона и противолежащий угол — найти радиус $R$ или другую сторону	теорема синусов

5. Типичные задания из ОГЭ

Пример 6 (задание №15 ОГЭ)

В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 6$, $AC = 8$, угол $A = 30°$. Найдите площадь.

$S = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 30° = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \dfrac{1}{2} = 12$

Ответ: 12

Пример 7 (радиус вписанной окружности)

Площадь треугольника равна 84, полупериметр равен 21. Найдите радиус вписанной окружности.

$r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{84}{21} = 4$

Ответ: 4

← 27. Прямоугольный треугольник. Тригонометрия 29. Окружность. Центральные и вписанные углы →