Вписанная и описанная окружности

Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной вершины, равны (свойство касательных). Обозначим их длины: у вершины $B$ — $x$, у $C$ — $y$, у $D$ — $z$, у $A$ — $t$. Каждая сторона состоит из двух таких отрезков: $AB = t + x$, $BC = x + y$, $CD = y + z$, $AD = z + t$. Тогда

Угол $B$ вписанный и опирается на дугу $ADC$, не содержащую $B$, а угол $D$ — на дугу $ABC$. Эти две дуги вместе составляют всю окружность, $360^\circ$. Поэтому

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку одинаково удалена от его концов. Серединные перпендикуляры к $AB$ и $BC$ пересекаются в точке $O$ (стороны не параллельны), и $OA = OB$, $OB = OC$. Значит, $OA = OB = OC$: окружность с центром $O$ проходит через все три вершины.

Проведём диаметр $BD$ описанной окружности и хорду $CD$. Угол $BCD$ опирается на диаметр, поэтому он прямой. Вписанные углы $BDC$ и $BAC$ опираются на одну дугу $BC$, значит, $\angle BDC = \angle A$ (если $D$ лежит на другой дуге, то $\angle BDC = 180^\circ - \angle A$, а синус тот же). В прямоугольном треугольнике $BCD$ катет $BC$ равен гипотенузе, умноженной на синус противолежащего угла: $BC = BD \cdot \sin A = 2R \sin A$. Отсюда $\dfrac{BC}{\sin A} = 2R$; для остальных сторон — так же.

Площадь треугольника $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A$, откуда $\sin A = \dfrac{2S}{bc}$. По теореме синусов $R = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{a \cdot bc}{2 \cdot 2S} = \dfrac{abc}{4S}$.

Каждая точка биссектрисы угла одинаково удалена от сторон этого угла. Биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $I$, и она одинаково удалена от сторон $AB$, $AC$ и $BC$. Окружность с центром $I$ и радиусом, равным этому расстоянию, касается всех трёх сторон.

Соединим центр вписанной окружности с вершинами. Треугольник разобьётся на три, у которых высота, проведённая из центра к стороне, равна радиусу $r$: $S = \dfrac{1}{2}ar + \dfrac{1}{2}br + \dfrac{1}{2}cr = \dfrac{a + b + c}{2}\,r = p\,r$. Отсюда $r = \dfrac{S}{p}$.

Пусть вписанная окружность касается сторон в точках $T_1$ ($CA$), $T_2$ ($CB$) и $T_3$ ($AB$). Радиусы в точки касания перпендикулярны сторонам, поэтому четырёхугольник из центра, $T_1$, $C$ и $T_2$ — квадрат со стороной $r$, и отрезки касательных из $C$ равны $r$. Из вершины $A$ касательные равны $p$, из $B$ — $q$. Тогда $b = p + r$, $a = q + r$, $c = p + q$. Складываем: $a + b - c = (q + r) + (p + r) - (p + q) = 2r$, откуда $r = \dfrac{a + b - c}{2}$.

В правильном треугольнике высота $AH$ является и медианой, и биссектрисой, поэтому центр вписанной окружности $O$ лежит на ней, а $OH = r$. Высота по теореме Пифагора: $AH = \sqrt{a^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $2 : 1$, считая от вершины, а центр вписанной окружности — как раз она. Поэтому $r = OH = \dfrac{1}{3}AH = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.

Центр $O$ соединён с концами стороны $AB$: треугольник $AOB$ равнобедренный с боковыми сторонами $R$, и угол при вершине $O$ равен $\dfrac{2\pi}{n}$. Высота $OH$ к стороне $AB$ является и медианой, и биссектрисой: она делит $AB$ пополам ($AH = \dfrac{a}{2}$) и угол $O$ пополам ($\angle AOH = \dfrac{\pi}{n}$). Из прямоугольного треугольника $AOH$: $\sin\dfrac{\pi}{n} = \dfrac{a/2}{R}$ и $\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{n} = \dfrac{a/2}{r}$ ($r = OH$ — радиус вписанной окружности, он перпендикулярен стороне в точке касания). Отсюда формулы.