Окружность углы, хорды, касательные, секущие

Пусть угол $ACB$ вписан, $O$ — центр. Три случая.

1. Центр лежит на стороне ($O$ на $CB$). Треугольник $AOC$ равнобедренный ($OA = OC = R$), поэтому $\angle OAC = \angle OCA = \alpha$. Угол $AOB$ — внешний для треугольника $AOC$, он равен сумме двух несмежных углов: $\angle AOB = \alpha + \alpha = 2\alpha$. Центральный угол $AOB$ равен дуге $AB$, значит, $\smile AB = 2\alpha$ и $\angle ACB = \alpha = \dfrac{1}{2}\smile AB$.
2. Центр внутри угла. Проведём диаметр $CD$. Он делит угол на два, и для каждого верен случай 1: $\angle ACB = \angle ACD + \angle DCB = \dfrac{1}{2}\smile AD + \dfrac{1}{2}\smile DB = \dfrac{1}{2}\smile AB$.
3. Центр вне угла. Снова проведём диаметр $CD$: $\angle ACB = \angle ACD - \angle BCD = \dfrac{1}{2}\smile AD - \dfrac{1}{2}\smile BD = \dfrac{1}{2}\smile AB$.

Пусть касательная проходит через $A$, угол между ней и хордой $AB$ равен $\alpha$ (острый). Проведём радиусы $OA$ и $OB$.

1. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной (доказательство ниже), поэтому $\angle OAB = 90^\circ - \alpha$.
2. Треугольник $AOB$ равнобедренный ($OA = OB$), значит, $\angle OBA = 90^\circ - \alpha$ и $\angle AOB = 180^\circ - 2(90^\circ - \alpha) = 2\alpha$.
3. Центральный угол $AOB$ равен дуге $AB$, поэтому $\smile AB = 2\alpha$ и $\alpha = \dfrac{1}{2}\smile AB$.

Если угол между касательной и хордой тупой, то он смежный с острым углом $\alpha$, и его дуга — большая дуга $360^\circ - 2\alpha$, то есть опять половина дуги.

Треугольники $AOB$ и $BOC$: $OA = OB = OC$ (радиусы) и $\angle AOB = \angle BOC$. Они равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому $AB = BC$.

Пусть касательная $a$ касается окружности в точке $A$, и допустим, что $OA$ не перпендикулярен $a$. Опустим из $O$ перпендикуляр $OH$ на $a$; точка $H$ не совпадает с $A$. Отложим на прямой $a$ точку $B$ так, чтобы $H$ была серединой $AB$. Тогда $OB = OA = R$ (наклонные с равными проекциями), то есть точка $B$ тоже лежит на окружности. У прямой $a$ получилось две общие точки с окружностью — это противоречит тому, что она касательная. Значит, $OA \perp a$.

Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны касательным, поэтому треугольники $OAP$ и $OBP$ прямоугольные. У них общая гипотенуза $OP$ и равные катеты $OA = OB = R$. Они равны (по гипотенузе и катету), откуда $PA = PB$ и $\angle OPA = \angle OPB$.

Проведём хорду $AD$. Угол $AEC$ — внешний угол треугольника $AED$, поэтому он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle AEC = \angle EAD + \angle EDA$. Это вписанные углы: $\angle EAD = \angle BAD$ опирается на дугу $BD$, а $\angle EDA = \angle CDA$ — на дугу $AC$. Значит,

Проведём хорду $BC$. Угол $BCD$ — внешний угол треугольника $PBC$ при вершине $C$, поэтому $\angle BCD = \angle BPC + \angle PBC$, откуда $\angle BPD = \angle BCD - \angle CBA$. Это вписанные углы: $\angle BCD$ опирается на дугу $BD$, а $\angle CBA$ — на дугу $AC$. Значит,

Рассмотрим треугольники $PAB$ и $PCA$. Угол $P$ у них общий. Угол $PAB$ между касательной и хордой равен половине дуги $AB$, и вписанный угол $PCA$ опирается на ту же дугу $AB$, значит, $\angle PAB = \angle PCA$. Треугольники подобны по двум углам, поэтому $\dfrac{PA}{PC} = \dfrac{PB}{PA}$, то есть $PA^2 = PB \cdot PC$.

Треугольники $AEC$ и $DEB$: углы $AEC$ и $DEB$ вертикальные, а $\angle EAC = \angle BAC$ и $\angle EDB = \angle CDB$ — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу $BC$, поэтому они равны. Треугольники подобны по двум углам, откуда $\dfrac{EA}{ED} = \dfrac{EC}{EB}$, то есть $EA \cdot EB = EC \cdot ED$.

Проведём из $P$ касательную $PT$. Для каждой секущей верно свойство касательной и секущей: $PT^2 = PA \cdot PB$ и $PT^2 = PC \cdot PD$. Левые части равны, поэтому равны и правые.