← Маршрут ОГЭ
Тема 54 из 72 · Геометрия

Задание №25: сложные задачи — треугольники

Комбинированные задачи повышенной сложности

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗
Содержание 9 разделов
  1. Задание №25: сложные задачи — треугольники
  2. 1. Особенности задания 25
  3. 2. Дополнительные построения
  4. 3. Комбинация теорем
  5. 4. Работа с отношениями
  6. 5. Теоремы Менелая и Чевы
  7. 6. Стратегия решения
  8. 7. Типичные задания из ОГЭ
  9. 8. Частые ошибки

Задание №25: сложные задачи — треугольники

Задание №25 — самое сложное геометрическое задание ОГЭ. Оно обычно содержит две части: доказательство и вычисление.

Важно запомнить!

В задании №25 часто нужно сделать дополнительное построение. Вторая часть условия (что нужно найти) часто подсказывает, какое построение сделать в первой части.

1. Особенности задания 25

  • Две части: доказать и найти
  • Нужна цепочка из 3–6 логических шагов
  • Комбинируются несколько теорем
  • Часто требуется дополнительное построение

2. Дополнительные построения

ПостроениеКогда помогаетЧто даёт
Высота Произвольный треугольник Прямоугольные треугольники
Параллельный отрезок Нужны подобные треугольники Подобие, пропорции
Продолжение медианы Работа с медианами Параллелограмм
Средняя линия Нужны отношения отрезков Отношение 1:2, параллельность
Пример 1 (дополнительное построение)

В треугольнике ABC проведена медиана AD. Докажите, что площадь треугольника ABD равна площади треугольника ACD.

  1. Проведём высоту AH из вершины A к стороне BC
  2. $S_{\triangle ABD} = \dfrac{1}{2} \cdot BD \cdot AH$
  3. $S_{\triangle ACD} = \dfrac{1}{2} \cdot CD \cdot AH$
  4. Так как $AD$ — медиана, $BD = CD$
  5. Следовательно, $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$

3. Комбинация теорем

Типичная цепочка:

  1. Подобие треугольников → отношение сторон
  2. Теорема косинусов → угол или сторона
  3. Формула площади → итоговая величина
Пример 2 (комбинация теорем)

В треугольнике ABC ∠A = 45°, ∠B = 60°, BC = 12√6. Найдите AC.

  1. По теореме синусов: $\dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{AC}{\sin B}$
  2. $\dfrac{12\sqrt{6}}{\sin 45°} = \dfrac{AC}{\sin 60°}$
  3. $\sin 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
  4. $AC = 12\sqrt{6} \cdot \dfrac{\sin 60°}{\sin 45°} = 36$

4. Работа с отношениями

Площади треугольников с общей высотой:

$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{a_1}{a_2}$$

Площади треугольников с общим углом:

$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{a_1 \cdot b_1}{a_2 \cdot b_2}$$
Пример 3 (отношение площадей)

В треугольнике ABC точка M делит сторону AB в отношении AM:MB = 2:3. Найдите отношение площадей треугольников AMC и BMC.

  1. Треугольники $AMC$ и $BMC$ имеют общую высоту из вершины C
  2. $\dfrac{S_{\triangle AMC}}{S_{\triangle BMC}} = \dfrac{AM}{MB} = \dfrac{2}{3}$

Ответ: 2:3

5. Теоремы Менелая и Чевы

Этих теорем нет в школьной программе, но они быстро решают некоторые задачи №25: когда нужно найти длину отрезка, а подобия не видно. Оба правила — это «обход» треугольника: начинаем с левой крайней вершины и идём по часовой стрелке.

Теорема Менелая

Признак конструкции: одна сторона треугольника $ABC$ продолжена, и через точку $M$ на продолжении проведена прямая, которая пересекает остальные стороны в точках $K$ (на $AB$) и $L$ (на $BC$). Тогда:

$$\frac{AK}{KB} \cdot \frac{BL}{LC} \cdot \frac{CM}{MA} = 1$$
A C B M K L
Пример (Менелай)

$AK = 4$, $KB = 2$, $LC = 3$, $CM = 3$, $MA = 7$. Найдите $BL$.

  1. Обозначим $BL = x$ и составим уравнение: $\dfrac{4}{2} \cdot \dfrac{x}{3} \cdot \dfrac{3}{7} = 1$
  2. $2 \cdot \dfrac{x}{3} \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{2x}{7} = 1$
  3. $x = 3,5$

Ответ: 3,5

Теорема Чевы

Конструкция: из вершин проведены три отрезка $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ ($A_1$ на $BC$, $B_1$ на $AC$, $C_1$ на $AB$), и все три пересекаются в одной точке $O$. Тогда:

$$\frac{AB_1}{B_1C} \cdot \frac{CA_1}{A_1B} \cdot \frac{BC_1}{C_1A} = 1$$
O A B C A₁ B₁ C₁

Если длины всех отрезков, кроме одного, известны, то составляем уравнение и находим неизвестный.

Пример (Чева)

Отрезки $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ пересекаются в одной точке. $AB_1 = 2$, $B_1C = 3$, $CA_1 = 4$, $A_1B = 2$, $BC_1 = 3$. Найдите $C_1A$.

  1. $\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4}{2} \cdot \dfrac{3}{x} = 1$
  2. $\dfrac{2}{3} \cdot 2 \cdot \dfrac{3}{x} = \dfrac{4}{x} = 1$
  3. $x = 4$

Ответ: 4

6. Стратегия решения

  1. Прочитать условие полностью
  2. Сделать аккуратный чертёж
  3. Начать с доказательной части
  4. Ввести переменные, если нужно
  5. Проверить ответ

7. Типичные задания из ОГЭ

Пример 4 (задание №25 ОГЭ)

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 24. Найдите стороны треугольника ABC.

  1. Пусть $O$ — точка пересечения $AD$ и $BE$
  2. $AD$ — медиана, $O$ делит $AD$ в отношении 2:1, считая от вершины
  3. $AO:OD = 2:1$, $AD = 24 \Rightarrow AO = 16$, $OD = 8$
  4. $BE$ — биссектриса, $BE = 24$, $BO:OE = ?$
  5. Из условия перпендикулярности: $AO \perp BO$
  6. В прямоугольном треугольнике $AOB$: $AB^2 = AO^2 + BO^2$
  7. По свойству биссектрисы: $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AE}{EC}$
  8. Решая систему, находим: $AB = 20$, $BC = 24$, $AC = 28$

Ответ: 20, 24, 28

Пример 5 (задание №25 ОГЭ)

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 26 и 11, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 12.

  1. ∠A + ∠D = 90° (по условию)
  2. Продолжим боковые стороны до пересечения в точке E
  3. ∠AED = 180° - (∠A + ∠D) = 90°
  4. △AED ∼ △BEC (по двум углам)
  5. $\dfrac{AE}{BE} = \dfrac{AD}{BC} = \dfrac{26}{11}$
  6. $AE - BE = AB = 12$
  7. Решая систему: $AE = 26$, $BE = 14$
  8. $ED = 13$, $EC = 5,5$
  9. Радиус описанной окружности около △ABE: $R = \dfrac{AB}{2\sin\angle AEB} = \dfrac{12}{2\sin 90°} = 6$

Ответ: 6

8. Частые ошибки

Ошибка 1: Нет дополнительного построения

Если задача не решается напрямую — попробуйте провести высоту, параллель или продолжить отрезок.

Ошибка 2: Путаница в отношениях

Медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Биссектриса делит сторону в отношении прилежащих сторон.

← 53. Задание №24: доказательства — четырёхуг…