← Маршрут ОГЭ
Тема 53 из 72 · Геометрия

Задание №24: доказательства — четырёхугольники, окружности

Параллелограммы, трапеции, вписанные углы

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Задание №24: доказательства — четырёхугольники, окружности

Задание №24 может содержать задачу на доказательство свойств четырёхугольников или утверждений, связанных с окружностью.

Важно запомнить!

В доказательствах с четырёхугольниками часто нужно использовать признаки параллелограмма или свойства вписанных углов. Ключ к решению — найти пару равных или подобных треугольников.

1. Признаки параллелограмма

Четырёхугольник является параллелограммом, если:

  1. Противоположные стороны попарно равны
  2. Противоположные стороны попарно параллельны
  3. Две стороны равны и параллельны
  4. Диагонали делятся пополам точкой пересечения
  5. Противоположные углы равны
Пример 1 (доказательство параллелограмма)

Докажите, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если AB = CD и BC = AD.

  1. Дано: $AB = CD$, $BC = AD$
  2. По признаку параллелограмма: если противоположные стороны попарно равны, то четырёхугольник — параллелограмм
  3. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм

2. Свойства параллелограмма

  • Противоположные стороны равны и параллельны
  • Противоположные углы равны
  • Сумма соседних углов = 180°
  • Диагонали делятся пополам
Пример 2 (свойство параллелограмма)

В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что AO = OC и BO = OD.

  1. Дано: $ABCD$ — параллелограмм
  2. По свойству параллелограмма: диагонали точкой пересечения делятся пополам
  3. Следовательно, $AO = OC$ и $BO = OD$

3. Трапеция

Средняя линия трапеции:

$$m = \frac{a+b}{2}, \quad m \parallel \text{основаниям}$$

Равнобедренная трапеция:

  • Боковые стороны равны
  • Диагонали равны
  • Углы при каждом основании равны
Пример 3 (средняя линия трапеции)

Докажите, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

  1. Дано: трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$
  2. Проведём диагональ $BD$
  3. В треугольнике $ABD$: $MN$ — средняя линия, $MN \parallel AD$, $MN = \dfrac{AD}{2}$
  4. В треугольнике $BCD$: $NK$ — средняя линия, $NK \parallel BC$, $NK = \dfrac{BC}{2}$
  5. $MN + NK = \dfrac{AD + BC}{2}$

4. Окружность

Вписанные углы:

$$\text{Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны}$$
$$\text{Угол, опирающийся на диаметр, равен 90°}$$

Касательная:

$$\text{Радиус } \perp \text{ касательной в точке касания}$$
$$\text{Отрезки касательных из одной точки равны}$$

Вписанный четырёхугольник:

$$\angle A + \angle C = 180°, \quad \angle B + \angle D = 180°$$
Пример 4 (вписанный четырёхугольник)

Докажите, что в четырёхугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна 180°.

  1. Дано: $ABCD$ вписан в окружность
  2. $\angle A = \dfrac{1}{2}\smile BCD$ (вписанный)
  3. $\angle C = \dfrac{1}{2}\smile BAD$ (вписанный)
  4. $\angle A + \angle C = \dfrac{1}{2}(\smile BCD + \smile BAD) = \dfrac{1}{2} \cdot 360° = 180°$
Пример 5 (касательная)

Докажите, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

  1. Дано: окружность с центром O, касательная $l$ в точке A
  2. Предположим, что $OA$ не перпендикулярна $l$
  3. Тогда существует другая точка B на $l$ такая, что $OB < OA$
  4. Но тогда $B$ лежит внутри окружности, что противоречит определению касательной
  5. Следовательно, $OA \perp l$

5. Теорема Вариньона

Отметим середины сторон произвольного четырёхугольника $ABCD$: $K$ на $AB$, $L$ на $BC$, $M$ на $CD$, $N$ на $AD$, и соединим их. Получим четырёхугольник $KLMN$ внутри исходного.

Теорема Вариньона

$KLMN$ — параллелограмм, и его площадь равна половине площади $ABCD$.

A B C D K L M N

Доказательство, что это параллелограмм.

  1. В треугольнике $ABC$ отрезок $KL$ — средняя линия: $KL \parallel AC$ и $KL = \tfrac{1}{2}AC$
  2. В треугольнике $ADC$ отрезок $NM$ — средняя линия: $NM \parallel AC$ и $NM = \tfrac{1}{2}AC$
  3. Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой: $KL \parallel NM$, причём $KL = NM$
  4. Аналогично $KN \parallel LM \parallel BD$ и $KN = LM = \tfrac{1}{2}BD$
  5. У $KLMN$ противоположные стороны попарно параллельны — по признаку это параллелограмм

Доказательство про площадь. Угол между диагоналями $AC$ и $BD$ обозначим $\alpha$. Площадь исходного четырёхугольника:

$$S_{ABCD} = \tfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \cdot \sin\alpha$$

Стороны параллелограмма $KL \parallel AC$ и $KN \parallel BD$, поэтому угол между ними равен $\alpha$ (или $180° - \alpha$, синус тот же). Тогда

$$S_{KLMN} = KL \cdot KN \cdot \sin\alpha = \tfrac{1}{2}AC \cdot \tfrac{1}{2}BD \cdot \sin\alpha = \tfrac{1}{4}\, AC \cdot BD \cdot \sin\alpha$$

Сравнивая, получаем $S_{KLMN} = \tfrac{1}{2} S_{ABCD}$.

Следствия

  • Диагонали $ABCD$ перпендикулярны ⇒ $KLMN$ — прямоугольник
  • Диагонали $ABCD$ равны ⇒ $KLMN$ — ромб (все стороны $\tfrac{1}{2}AC$ и $\tfrac{1}{2}BD$ равны)
  • Диагонали равны и перпендикулярны ⇒ $KLMN$ — квадрат

6. Типовая схема доказательства

  1. Выделить все элементы на чертеже
  2. Определить, что нужно доказать
  3. Найти пару равных/подобных треугольников
  4. Вывести равенства углов и отрезков
  5. Сделать вывод

7. Типичные задания из ОГЭ

Пример 6 (задание №24 ОГЭ)

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке P. Докажите, что площади треугольников APB и CPD равны.

  1. Треугольники $ABP$ и $CDP$ имеют общую высоту, опущенную из точки P на основания
  2. $\dfrac{S_{\triangle ABP}}{S_{\triangle CDP}} = \dfrac{AB}{CD}$ (отношение оснований)
  3. Из подобия треугольников $ABP$ и $CDP$: $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{AP}{CP}$
  4. Но $AP = CP$ (диагонали параллелограмма делятся пополам)
  5. Следовательно, $S_{\triangle ABP} = S_{\triangle CDP}$
← 52. Задание №24: доказательства — треугольн…