← Маршрут ОГЭ
Тема 30 из 72 · Геометрия

Вписанные и описанные окружности

Радиусы r и R, свойства. Задания №16, №23

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗
Содержание 12 разделов
  1. Вписанные и описанные окружности
  2. 1. Вписанная окружность треугольника
  3. 2. Описанная окружность треугольника
  4. 3. Замечательные точки треугольника
  5. 4. Вписанный четырёхугольник
  6. 5. Описанный четырёхугольник
  7. 6. Когда можно описать окружность и когда вписать
  8. 7. Диагонали вписанного четырёхугольника
  9. 8. Равносторонний треугольник
  10. 9. Таблица формул для треугольников
  11. 10. Типичные задания из ОГЭ
  12. 11. Свойства вписанной и описанной окружностей

Вписанные и описанные окружности

Вписанная окружность — окружность, касающаяся всех сторон многоугольника.

Описанная окружность — окружность, проходящая через все вершины многоугольника.

Важно запомнить!

В любой треугольник можно вписать окружность и описать окружность. В четырёхугольник это возможно только при определённых условиях.

1. Вписанная окружность треугольника

Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.

$$S = r \cdot p$$

где $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности.

Пример 1 (радиус вписанной окружности)

Площадь треугольника равна 84, полупериметр равен 21. Найдите радиус вписанной окружности.

  1. $S = r \cdot p$
  2. $84 = r \cdot 21$
  3. $r = \dfrac{84}{21} = 4$

Ответ: 4

Пример 2 (вписанная окружность прямоугольного треугольника)

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите радиус вписанной окружности.

  1. Гипотенуза: $c = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$
  2. $r = \dfrac{a+b-c}{2} = \dfrac{6+8-10}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$

Ответ: 2

2. Описанная окружность треугольника

Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

$$R = \frac{abc}{4S}$$
Пример 3 (радиус описанной окружности)

Стороны треугольника равны 13, 14, 15, площадь равна 84. Найдите радиус описанной окружности.

  1. $R = \dfrac{abc}{4S} = \dfrac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84}$
  2. $R = \dfrac{2730}{336} = \dfrac{65}{8} = 8,125$

Ответ: $\dfrac{65}{8}$

Пример 4 (описанная окружность прямоугольного треугольника)

Катеты прямоугольного треугольника равны 20 и 21. Найдите радиус описанной окружности.

  1. Гипотенуза: $c = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$
  2. $R = \dfrac{c}{2} = \dfrac{29}{2} = 14,5$

Ответ: 14,5

3. Замечательные точки треугольника

В любом треугольнике есть четыре замечательные точки. В каждой из них пересекаются три одинаковых отрезка.

Что пересекаетсяЧто даёт точка пересечения
МедианыДелятся точкой $O$ в отношении $2 : 1$, считая от вершины
Серединные перпендикуляры (перпендикуляры к сторонам, проведённые через их середины)Центр описанной окружности: около любого треугольника можно описать окружность
БиссектрисыЦентр вписанной окружности: она касается всех трёх сторон; вписать окружность можно в любой треугольник
Высоты (или их продолжения)Одна общая точка
$$\frac{AO}{OM_2} = \frac{BO}{OM_3} = \frac{CO}{OM_1} = \frac{2}{1}$$
O делятся 2 : 1 от вершины Медианы O центр описанной окружности Серединные перпендикуляры O центр вписанной окружности Биссектрисы O пересечение высот Высоты

Если одну часть медианы обозначить $x$, то другая часть — $2x$: вся медиана равна $3x$.

Пример (медианы)

Медиана $AM$ треугольника $ABC$ равна 18, $O$ — точка пересечения медиан. Найдите $AO$.

  1. $O$ делит медиану в отношении $2 : 1$ от вершины: $AO : OM = 2 : 1$
  2. $AO = \dfrac{2}{3} \cdot 18 = 12$

Ответ: 12

Свойство биссектрисы

Биссектриса делит угол пополам, и кроме этого делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Для биссектрисы $BD$ ($D$ лежит на $AC$):

$$\frac{AD}{AB} = \frac{DC}{BC}$$
A C B D
Пример (биссектриса)

В треугольнике $ABC$ $AB = 6$, $BC = 9$, $AC = 10$, $BD$ — биссектриса. Найдите $AD$.

  1. $\dfrac{AD}{6} = \dfrac{DC}{9}$, то есть $AD : DC = 2 : 3$
  2. $AD + DC = 10$, значит $AD = \dfrac{2}{5} \cdot 10 = 4$

Ответ: 4

4. Вписанный четырёхугольник

Четырёхугольник вписан в окружность, если все его вершины лежат на окружности.

Теорема

В четырёхугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна 180°.

$$\angle A + \angle C = 180°$$
$$\angle B + \angle D = 180°$$

Верно и обратное: если суммы противоположных углов равны 180°, около четырёхугольника можно описать окружность.

A C A B C D ∠A + ∠C = 180°

Доказательство. Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается. Угол $BAD$ опирается на дугу $BD$ с одной стороны, а угол $BCD$ — на дугу $BD$ с другой. Две эти дуги вместе составляют всю окружность, $360°$. Поэтому

$$\angle BAD + \angle BCD = \tfrac{1}{2} \cdot 360° = 180°$$
Пример 5 (вписанный четырёхугольник)

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. $\angle ABC = 94°$, $\angle CAD = 57°$. Найдите $\angle ABD$.

  1. $\angle ABC = 94°$ — вписанный, опирается на дугу $ADC$: она равна $2 \cdot 94° = 188°$
  2. $\angle CAD = 57°$ опирается на дугу $CD$: она равна $2 \cdot 57° = 114°$
  3. Дуга $AD = 188° - 114° = 74°$
  4. $\angle ABD$ опирается на дугу $AD$: $74° : 2 = 37°$

Ответ: 37°

5. Описанный четырёхугольник

Четырёхугольник описан около окружности, если окружность касается всех его сторон.

Теорема

В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.

$$AB + CD = BC + AD$$

Верно и обратное: если суммы противоположных сторон равны, в четырёхугольник можно вписать окружность.

Доказательство. Две касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны. Обозначим отрезки касательных от вершин: из $A$ — $x$, из $B$ — $y$, из $C$ — $z$, из $D$ — $t$. Тогда

$$AB = x + y, \quad BC = y + z, \quad CD = z + t, \quad AD = x + t$$
A B C D x x y y z z t t
$$AB + CD = x + y + z + t = BC + AD$$

Биссектрисы описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке — в центре вписанной окружности. Радиусы, проведённые в точки касания, равны, значит центр равноудалён от сторон угла и лежит на его биссектрисе. Он равноудалён от всех четырёх сторон, поэтому лежит на всех четырёх биссектрисах.

O A B C D
Пример 6 (описанный четырёхугольник)

В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность. $AB = 5$, $BC = 7$, $CD = 8$. Найдите $AD$.

  1. $AB + CD = BC + AD$
  2. $5 + 8 = 7 + AD$
  3. $AD = 6$

Ответ: 6

6. Когда можно описать окружность и когда вписать

ФигураОкружность описать можно, если…Окружность вписать можно, если…
Параллелограммон — прямоугольникон — ромб
Прямоугольниквсегдатолько если он квадрат
Ромбтолько если он квадратвсегда
Квадратвсегдавсегда
Трапецияона равнобедреннаясумма боковых сторон равна сумме оснований

Почему так. Описать окружность можно, если суммы противоположных углов равны 180°: у прямоугольника $90° + 90° = 180°$. Вписать — если суммы противоположных сторон равны: у ромба $a + a = a + a$.

7. Диагонали вписанного четырёхугольника

Диагонали вписанного четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$ и образуют две пары подобных треугольников:

  • $\triangle AOB \sim \triangle DOC$: углы при $O$ вертикальные, $\angle ABD = \angle ACD$ (вписанные, опираются на дугу $AD$)
  • $\triangle AOD \sim \triangle BOC$ — аналогично

Из подобия стороны пропорциональны, а перекрёстным умножением получаем:

$$AO \cdot OC = BO \cdot OD$$
O A B C D AO · OC = BO · OD
Пример 7 (отрезки диагоналей)

Диагонали вписанного четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. $AO = 4$, $OC = 9$, $BO = 3$. Найдите $OD$.

  1. $AO \cdot OC = BO \cdot OD$
  2. $4 \cdot 9 = 3 \cdot OD$
  3. $OD = 36 : 3 = 12$

Ответ: 12

8. Равносторонний треугольник

$$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}, \quad R = \frac{a\sqrt{3}}{3}, \quad R = 2r$$
Пример 7 (равносторонний треугольник)

Сторона равностороннего треугольника равна $6\sqrt{3}$. Найдите радиус описанной окружности.

  1. $R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3} = \dfrac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3} = \dfrac{6 \cdot 3}{3} = 6$

Ответ: 6

9. Таблица формул для треугольников

Треугольник$r$ (вписанная)$R$ (описанная)
Произвольный $r = \dfrac{S}{p}$ $R = \dfrac{abc}{4S}$
Прямоугольный $r = \dfrac{a+b-c}{2}$ $R = \dfrac{c}{2}$
Равносторонний $r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$ $R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$

10. Типичные задания из ОГЭ

Пример 8 (задание №16 ОГЭ)

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 54. Найдите высоту этой трапеции.

  1. В трапеции, в которую вписана окружность, высота равна диаметру вписанной окружности
  2. $h = 2r = 2 \cdot 54 = 108$

Ответ: 108

Пример 9 (задание №23 ОГЭ)

В треугольнике ABC угол C равен 90°, M — середина стороны AB, AB = 26, AC = 24. Найдите CM.

  1. В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы
  2. $CM = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{26}{2} = 13$

Ответ: 13

11. Свойства вписанной и описанной окружностей

ОкружностьЦентрРадиус
Вписанная ($r$) Пересечение биссектрис $r = \dfrac{S}{p}$
Описанная ($R$) Пересечение серединных перпендикуляров $R = \dfrac{abc}{4S}$
← 29. Окружность. Центральные и вписанные углы